Wie viele Kreise passen auf die Oberfläche einer Kugel?
Wie viele Kreise passen auf die Oberfläche einer Kugel ohne das diese sich überlappen? Sozusagen nach einem Bienenwabenmuster angeordnet.
Ich habe eine Kugel mit einem Durchmesser von 500mm, diese hat nach Pi*d² eine Oberfläche von 785´398mm².
Meine Kreise haben einen Durchmesser von 50mm, und somit eine Fläche von 1963mm².
Nun kommt das komplexe daran...Ich kann die Fläche der Kugel nicht einfach wie die eines Quadrates zur Berechnung nutzen, sonst würde ich Wurzel aus(785´398mm²) ziehen, und mit einem Quadrat von 886*886mm weiter rechnen.
Folgende Excel Formel habe ich gefunden: =ABRUNDEN(A1/A3;0)*ABRUNDEN(A2/A3;0)
A1 = Länge A2 = Breite A3 = Durchmesser
Damit lässt sich anscheinend die Anordnung nach dem Bienenwabenmuster berechnen, aber eben nur in Formen wie Dreiecken oder Quadraten, und das ist vermutlich in meinem Fall nicht korrekt.
Könnt ihr mir bitte weiterhelfen...
5 Antworten
Zuallererst würde ich da eine andere Maßeinheit vorschlagen, nämlich so, dass die Kugel den Radius R=10 bekommt und einer der Kreise den Radius r=1. Dann muss man sich nachher weniger mit "blöden" Zahlenwerten rumplagen.
Nun ist aber die "Pflästerung" einer Kugeloberfläche mit Kreisen keine so einfache Aufgabe. Zunächst könnte man aber einmal eine gewisse obere Schranke für die maximale Anzahl bestimmen. Die Kugeloberfläche kann mit den Kreisen (die sich gegenseitig höchstens berühren, aber nicht überlappen dürfen) nicht zu 100% bedeckt werden, sondern auch nur etwa zu einem gewissen Prozentsatz, wie das auch in der Ebene der Fall wäre.
Bei deiner Rechnung stimmt leider schon die Kugeloberfläche nicht. Außerdem müsste man wohl anstatt des Flächeninhalts eines kleinen Kreises sinngemäß den Flächeninhalt einer Kugelkalotte mit dem Radius r betrachten.
Sorry, mit der Oberflächenformal habe ich mich leider geirrt.
Eine Seite, auf welcher ähnliche Probleme behandelt werden:
Das Problem "dichteste Packung von Kreisen auf einer Kugeloberfläche" habe ich dort aber nicht gefunden. Interessant wären jedenfalls zunächst einmal die wenigen Beispiele, wo alle Kreise absolut regelmäßig auf der Kugel verteilt sind, entsprechend den Platonischen Körpern. Im Allgemeinen wird aber eine genaue Lösung nicht durch irgendeine Formel zu bestimmen sein, sondern nur durch numerische Such- und Näherungsverfahren !
Da die Geometrie auf der Kugeloberfläche nicht euklidisch ist, funktioniert hier ein exaktes Bienenwabenmuster nicht. Aus dem gleichen Grund läßt sich die Kugeloberfläche auch nur in annähernd gleichseitige Dreiecke zerlegen, die zudem nicht alle deckungsgleich sind, und auch nicht überall zu sechst eine gemeinsame Ecke haben können. Es muß auch Punkte geben, wo nur fünf Dreiecke eine genmeinsame Ecke haben. (Das folgt auch aus dem Eulerschen Polyedersatz.)
https://www.google.de/search?q=triangulation+kugel&dcr=0&tbm=isch
In der Technik sieht man das schön an den geodätischen Kuppeln...
https://www.google.de/search?q=geodesic+dome&dcr=0&tbm=isch
https://de.wikipedia.org/wiki/Geod%C3%A4tische_Kuppel
...und in der Chemie an den Fulleren-Molekülen:
https://www.google.de/search?q=fullerene&dcr=0&tbm=isch
Falls Du nicht aus irgendwelchen Gründen an Kreisen mit exakt gleichem Durchmesser festhalten willst, schlage ich vor, daß Du Kreise mit leicht variierendem Durchmesser zuläßt und z.B. die Inkreise einer solchen geodätischen Triangulation verwendest.
Etwas muß ich noch korrigieren. Laut meiner obigen Antwort...
[...] läßt sich die Kugeloberfläche auch nur in annähernd gleichseitige Dreiecke zerlegen, die zudem nicht alle deckungsgleich sind
Es gibt Ausnahmen zu dieser Behauptung, nämlich die fünf Platonischen Körper, auf die Kugelfläche projiziert. Drei von ihnen bestehen aus gleichseitigen Dreiecken: Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder. Und bei den beiden anderen, Würfel und Dodekaeder, kann man die Quadrate bzw. Fünfecke, aus denen sie bestehen, in zueinander deckungsgleiche Dreiecke zerlegen. Bei jedem dieser fünf Dreiecksnetze sind jeweils die Inkreise der Dreiecke alle gleich groß.
Ohje so gut bin ich in Mathe wohl nicht. Aber leider möchte ich an den Kreisen mit statischen Durchmesser festhalten.
Können Sie mir vielleicht einen deutlicheren Tipp geben, oder etwas bei dem ich nicht jedes fünfte Wort googlen muss .
xD
Einen einfacheren Weg weiß ich leider nicht. Die Mathematik, die man hierfür braucht, ist zwar nicht sehr schwierig, ungefähr Mittelstufe, aber lernen muß man sie halt. Ich will Dir Mut machen. Wenn Dir die Sache mit den Kreisen auf der Kugel wichtig ist, dann bleib einfach dran. Was Du Dir beibringen mußt, ist das Berechnen von Dreiecken. Dazu benötigst Du Quadrat und Wurzel, das kannst Du ja, dann den Satz des Pythagoras, das Rechnen mit Winkeln und mit Sinus, Cosinus und Tangens. Hilfreich dafür ist z.B. das Mathematiklehrbuch von Lothar Kusch Band 1 und 2, gebraucht günstig zu bekommen. Laß Dir soviel Zeit, wie Du willst und geh einen Schritt nach dem anderen.
Schau auch hier:
Gegenfragen -->
Was für eine Sorte / welche Art von Kreise(n) soll auf die überall gekrümmte Kugeloberfläche gelegt werden ?
Ist dir bewusst, dass normale Kreise Objekte sind, die flach in einer zweidimensionalen Ebene liegen ?
Ist dir bewusst, dass normale Kreise Objekte sind, die flach in einer zweidimensionalen Ebene liegen ?
Man kann aber Kreise sehr wohl auch auf einer Sphäre verteilen. Zu jedem solchen Kreis gehört dann (flächenmäßig) eine Kugelkalotte mit demselben Radius. Beispielsweise kann man 4 oder 6 oder 8 oder 12 oder 20 kongruente Kreise ganz regelmäßig auf der Kugel verteilen, dass jeder ein paar andere berührt und kein weiterer Platz hat. Je nach Radiusverhältnis r:R haben aber auf einer Kugel vom Radius R z.B. nur maximal 7 oder maximal 16 Kreise von einem bestimmten Radius r Platz.
Mir geht es unter anderem darum, ob man das dann einfach Kreis nennen darf.
https://de.wikipedia.org/wiki/Kreis
Zitat von Wikipedia :
Ein Kreis ist eine ebene geometrische Figur.
Ein Kreis, der in der dritten Dimension gekrümmt ist, ist nicht eben, sondern verformt, und dürfte dann streng genommen nicht mehr einfach nur Kreis genannt werden, oder ?
Hier mal als Analogie das Dreieck :
https://de.wikipedia.org/wiki/Kugeldreieck
Das Dreieck wird dann auch nicht mehr einfach nur Dreieck genannt, wenn es auf einer Kugeloberfläche aufliegt, sondern Kugeldreieck oder sphärisches Dreieck.
In der Metallbranche nennt man einen Kreis -"Ronde", und einen in der dritten Dimension gekrümten Kreis -"Schale". Vielleicht passt das in der Geometrie ja auch.
"Schale" oder "Kalotte" passt sehr gut. Die vorliegende Frage verstehe ich aber eigentlich gar nicht so, dass man da (technisch gesagt) "Ronden" bzw. "Scheiben" auf einer Kugel zu "Schalen" pressen möchte, sondern so, dass man einfach mal Kreise (simple Kreislinien) auf eine Kugeloberfläche zeichnet. Jeder solche Kreis hat einen Durchmesser, den man nicht der Kugeloberflächenkrümmung entlang, sondern geradlinig (als Kugelsehne) misst.
So gesehen ist die Frage als geometrische Frage ganz klar gestellt - nur ist die Lösung eben keineswegs elementar, wenn man exakte Lösungen will.
Ein Kreis ist eine ebene geometrische Figur.
Ein Kreis, der in der dritten Dimension gekrümmt ist, ist nicht eben, sondern verformt, und dürfte dann streng genommen nicht mehr einfach nur Kreis genannt werden, oder ?
Hierzu gibt der Wikipedia-Artikel, auf den du verwiesen hast, Auskunft. Man muß zwischen Kreis(-linie) und Kreisfläche unterscheiden.
Ein Kreis ist eine ebene geometrische Figur. Er wird definiert als die Menge aller Punkte einer Ebene, die einen konstanten Abstand zu einem vorgegebenen Punkt dieser Ebene (dem Mittelpunkt) haben. [...]
Nach der eingangs genannten Definition ist ein Kreis eine Kurve, also ein eindimensionales Gebilde, und keine zweidimensionale Fläche. Da das Wort „Kreis“ aber oft ungenau auch für die eingeschlossene Fläche benutzt wird, [...]
Ja, das ist klar die Definition des Kreises.
Damit im Konflikt ist aber die Praxis, den Schülern etwa beizubringen, der Kreis mit dem Radius r hätte den Flächeninhalt A = π r^2 .
Richtig wäre:
Der Kreis hat den Flächeninhalt A(Kreis) = 0
Ferner: A(Kreisscheibe) = π r^2
die Praxis, den Schülern etwa beizubringen, der Kreis mit dem Radius r hätte den Flächeninhalt A = π r^2
ist ja auch unglücklich formuliert. "Der Kreis umschließt die Fläche A=πr²" passt da schon besser; das gilt aber auch nur in der euklidischen Geometrie.
Öhm ja, aber das dass mathematisch ein Problem darstellt war mir nicht bewusst. Physikalisch ja.
Kann man nicht die große Fläche durch die kleinen Flächen teilen? Würde man dann nicht theoretisch die Anzahl erhalten? Eine Frage meinerseits^^
Würde man nicht, da - wenn sich die Kreise nicht überlappen dürfen - kleine Dreiecke mit kurvigen Seiten zwischen den Kreisen existieren, die man gesondert von der Gesamtfläche abziehen müsste.
Hier der Link zu einem Text, wo das Problem "Tammes-Problem" professionell behandelt wird:
Diese annähernd maximale Anzahl der Kreise würde mir vollends genügen.
Warum ist denn meine Berechnung der Kugeloberfläche falsch? Soweit ich das richtig gelesen habe ist die Formel V = 4*Pi*r² = Pi*d²