Wie rechnet man folgende Wahrscheinlichkeit aus?

Also, es gibt drei Farben (Rot, Gelb, Grün), die Chance, dass jeweils eine Farbe pro Reihe kommt, ist 1:3 (33,33 %). Ich rede nur von der mittleren Reihe. Wie ist die Chance, dass alle 3 Felder, eine unterschiedliche Farbe haben und dass alle 3 Felder dieselbe Farbe haben, oder dass 2 Farben gleich sind (wie unten im Bild) und wie rechne ich das aus?

Comments

[TBDRM]

Kannst Du die Aufgabenstellung mal abfotografieren und hochladen?

[jalennyhalt]

Es ist keine Aufgabenstellung haha persönliches Interesse

Answer 1

[Willy1729]

Hallo,

grundsätzlich gibt es 3³=27 unterschiedliche Farbkombinationen, so daß jede einzelne von ihnen mit der Wahrscheinlichkeit von 1/27 erscheint.

Die Frage ist nun, wie viele dieser Kombinationen jeweils die Anforderungen erfüllen.

Für dreimal eine unterschiedliche Farbe gibt es 3!=6 unterschiedliche Permutationen der gleichen Farben. Ergibt eine Wahrscheinlichkeit von 6/27=2/9.

Eine Farbe doppelt, die andere einfach bieten 2*(3 über 2)=6 Kombinationen, die sich jeweils auf drei unterschiedliche Arten anordnen lassen, was 6*3=18 Möglichkeiten ergibt.

Wahrscheinlichkeit also 18/27=2/3.

2/3+2/9=8/9. Bleibt noch 1/9 für die letzte Möglichkeit, nämlich drei gleiche Farben. Da es drei Farben gibt, die aber nur jeweils eine Permutation zulassen, bei Rot etwa nur Rot-Rot-Rot - da gibt es nichts zu vertauschen - ergibt 3/27=1/9, wie bereits über 1-8/9 errechnet.

Herzliche Grüße,

Willy

Answer 2

[GuteAntwort2021]

$Wahrscheinlichkeit\ =\ \frac{Anzahl\ günstige\ Ereignisse}{Anzahl\ mögliche\ Ereignisse}$

........................................................

Anzahl möglicher Ereignisse für eine Reihe?

Es gibt 3 Farben mit je der selben Wahrscheinlichkeit und 3 Felder. Also:

Anzahl mögliche Ereignisse = 3^3 = 27

........................................................

Wie berechnen wir jetzt die günstigen Ereignisse? Für 3 unterschiedliche Farben wäre es ja:

1/3 * 1/3 * 1/3 -> (1/3)^3

Und wie viele Anordnungsmöglichkeiten gibt es?

Wenn vorne rot steht, kann danach ja grün/gelb oder gelb/grün kommen. Sind also 2 pro Farbe, bei 3 Farben macht das 6 unterschiedliche Möglichkeiten. Oder anders ausgedrückt: 3! -> 3 Fakultät -> 3*2*1 = 6

Also beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Reihe 3 unterschiedliche Farben beherbergt?

$p\ =\ 3!\ \cdot\ \left(\frac{1}{3}\right)^3$ $p\ =\ 6\ \cdot\ \frac{1}{27}$ $p\ =\ \frac{6}{27}\ =\ \frac{2}{9}$

Also rund 22,222...%

........................................................

Und wie sieht es bei 3 mal der gleichen Farbe aus? Naja, wie viele Möglichkeiten gibt es denn da?

Es gibt 3 Farben, also nur 3 Möglichkeiten -> (3 über 1)

$p\ =\ \frac{3}{27}\ =\ \frac{1}{9}$

........................................................

Zum Schluss noch 2 mal die gleiche Farbe.

Es gibt 3 Farben, zuerst wird eine zufällige ausgesucht und danach noch eine zweite aus den verbliebenen 2 -> 3*2 = 6 Möglichkeiten was die Farbe angeht.

Nun noch die Anordnungsmöglichkeit:

Na, entweder steht vorne die andere Farbe und die beiden gleichen kommen dahinter. Oder die beiden gleichen kommen zu erst und die andere dahinter, oder die andere Farbe steht in der Mitte -> (3 über 1) = 3 Möglichkeiten bei der Anordnung.

Macht zusammen? 6 * 3 = 18 Möglichkeiten.

$p\ =\ \frac{18}{27}\ =\ \frac{6}{9}\ =\ \frac{2}{3}$

Wenn du clever bist, kannst du dir diese Rechnung aber auch ersparen, da es ja nur die Restmenge von 1 sein kann, also 1 minus die beiden ersten Ergebnisse:

$p\ =\ 1\ -\ \frac{2}{9}\ -\ \frac{1}{9}\ =\ \frac{6}{9}\ =\ \frac{2}{3}$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Diplom Wirtschaftsinformatiker

Comments

[jalennyhalt]

Vielen Dank :DD

Answer 3

[clemensw]

Du hast also 3 Felder, die voneinander unabhängig die 3 Farben Rot(R), Grün(G) oder Gelb(Y wie Yellow) annehmen können.

Ergibt also 3*3*3=3³=27 mögliche Kombinationen.

Die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis ist dann die Anzahl der passenden Kombinationen durch alle möglichen Kombinationen.

zB für "alle 3 Felder, eine unterschiedliche Farbe" kann man rechnen:

Im ersten Feld ist jede der 3 Farben RGY möglich. Sind also 3 passende Möglichkeiten

Im zweiten Feld muss jetzt eine andere Farbe auftauchen. Damit verbleiben 2 passende Möglichkeiten.

Im dritten Feld muss die dritte Farbe auftauchen, die nicht im ersten oder zweiten Feld ist. Also nur noch eine passende Möglichkeit.

Ergibt also insgesamt 3*2*1=3!=6 passende Möglichkeiten.

Wahrscheinlichkeit 6/27=2/9=~22,2%