Wie muss man hier vorgehen?
Ich weiß bei beiden Aufgaben nicht, wie man vorrangeht.
Thema: Anwendung von Ableitungen
2 Antworten
zu a)
Nullstellen bestimmen
0 = -x³ + 3x
Abgleich mit Definitionsbereich.
Abstand zwischen den äußeren beiden Nullstellen ermitteln und mit Maßstab (1 LE = 10 m) umrechnen.
zu b)
Für Extrema erste Ableitung bilden...
f'(x) = -3x² + 3
... und gleich Null setzen.
Mittels zweiter Ableitung (f''(x) = -6x) prüfen, ob Extrema bestätigt wird und bei welcher der beiden möglichen Extrema ein Maximum (f''(x) < 0) bzw. ein Minimum f''(x) > 0) vorliegt.
Maßstabsumrechnung nicht vergessen.
a) Die Fußpunkte sind offensichtlich die 3 Stellen, die auf Bodenniveau liegen, also bei denen die Funktion die x-Achse schneidet, mathematisch gesprochen sind das die Nullstellen.
f(x) = -x^3 + 3x
Da klammmern wir x aus:
f(x) = x(-x^2 + 3)
Nach der Produktregel ist ein Produkt immer dann Null, wenn einer der Faktoren = 0 ist. Damit sehen wir sofort:
x1 = 0
Die anderen Nullstellen erhalten wir, indem wir den restlichen Faktor = 0 setzen:
(-x^2 + 3) = 0
und nach x auflösen:
x^2 = 3
x = ±√3
Die beiden Nullstellen am Rand liiegen also gerade noch so eben am Rand des Definitionsbereiches.
Der Abstand s zwischen diesen beiden Nulllstelllen beträgt:
s = √3 - (-√3) = 2√3
b)
Der tiefste Punkt des Kanals und der Gipfel des Walles stellen die Extrema der Funktion dar. Also leiten wir erstmal ab:
..und berechnen die Extrema:
