Wie kommt man auf diese Lösung?

Answer 1

[mihisu]

Das totale Differential ist...

$\text{d}f=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot \text{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot \text{d}y$

Wenn man nun ausgehend von einem Punkt (x₀, y₀) den x-Wert um Δx erhöht und den y-Wert um Δy erhöht, so verändert sich der Funktionswert um einen gewissen Wert Δf. Entsprechend dem totalen Differential gilt näherungsweise:

$\Delta f\approx\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)\cdot \Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)\cdot \Delta y$

Im konkreten Fall mit

$f(x, y)=10xy+5x,\quad x_0= 2,\ \Delta x = 2, \ y_0 = 5, \ \Delta y = 1$

erhält man...

$\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)=10y+5$

$\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=10x$

$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)=10y_0+5=10\cdot 5+5=55$

$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)=10x_0=10\cdot 2=20$

... und damit dann...

$\Delta f\approx \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)\cdot \Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)\cdot \Delta y$

$\Delta f\approx 55\cdot 2+20\cdot 1=110+20=130$

Entsprechend nimmt der Funktionswert näherungsweise um 130 Einheiten zu.

[130 Einheiten Zunahme, statt 130 Einheiten Abnahme, übrigens deshalb, da das Vorzeichen von Δf positiv ist. Es ist Δf ≈ 130, nicht Δf ≈ -130.]

Comments

[Halbrecht]

warum ≈,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ginge es noch genauer ?

[mihisu]

@Halbrecht

Ja, natürlich ginge es genauer. Man kann hier, da die Funktionsgleichung konkret gegeben ist, einfach den Funktionswert an den beiden Punkten berechnen und dann konkret die Änderung berechnen...

(x₀, y₀) = (2, 5)

(x₁, y₁) = (x₀ + Δx, y₀ + Δy) = (2 + 2, 5 + 1) = (4, 6)

f(x₀, y₀) = f(2, 5) = 10 ⋅ 2 ⋅ 5 + 5 ⋅ 2 = 100 + 10 = 110

f(x₁, y₁) = f(4, 6) = 10 ⋅ 4 ⋅ 6 + 5 ⋅ 4 = 240 + 20 = 260

Δf = f(x₁, y₁) - f(x₀, y₀) = 260 - 110 = 150

Wenn man von x₀ = 2 ausgehend den x-Wert um Δx = 2 Einheiten erhöht und von y₀ = 5 ausgehend den y-Wert um Δy = 1 erhöht, erhöht sich der Funktionswert um exakt Δf = 150.

Aber das würde nicht die Aufgabenstellung erfüllen, da in der Aufgabenstellung nicht diese exakte Differenz gefragt ist, sondern die näherungsweise Differenz mit Hilfe des totalen Differentials berechnet werden soll.

Answer 2

[MichaelH77]

totales Differential = (partielle Ableitung nach x) mal (Änderung von x) + (partielle Ableitung nach y) mal (Änderung von y)

df = (10y+5)dx + (10x)dy

x=2
dx=2

y=5
dy=1

einsetzen:

df = (10*5+5)*2 + (10*2)*1 = 55*2 + 20*1 = 130

Comments

[Halbrecht]

Das "130 zu" ergibt sich aus dem Vorzeichen von 130 ?

[HerrBang]

Du hast dx=5 geschrieben aber unten (10*5+5)*2 stehen. Von wo die 2 am ende? Ich dachte dx= 5?

[MichaelH77]

@HerrBang

DX muss 2 sein

[HerrBang]

@MichaelH77

Ja aber du hast dort dx = 5 stehen? Ich glaub hast dich vertippt

[Halbrecht]

@HerrBang

er hast es doch schon 8 Minuten vor deinem Kommentar hier richtiggestellt und in der letzten Zeile ist dx = 2 doch korrekt hingeschrieben . Was willst du denn noch ?

[HerrBang]

@Halbrecht

Hat mich nur verwirrt alles gut