Wie kommt man auf den Integrallogarithmus?
Hey Leute!
Also Folgendes:
Wenn ich das Integral aus 1/ln(x) suche, bekomme ich überall nur angezeigt, dass es li(x),j also der Integrallogarithmus ist. Dieser ist ja eine Spezielle Funktion. Meine Frage ist jetzt nur: Wie kommt man auf den? Man muss ja mit irgendwelchen Rechenschritten von dx/ln(x) auf li(x) kommen. Die finde ich aber nirgends!! Oder kann man das Integral nicht anders als durch Approximation bestimmen?
Danke schon mal für Eure Antworten! :) JTR
3 Antworten
Immer dann, wenn Funktionen häufig gebraucht werden, es aber keine kurze explizite Funktion aus anderen bekannten Funktionen gibt, wird von den Menschen gern ein neuer Eigenname verwendet.
Unter http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/LogIntegral/
findet man, dass zu li(x) bereits genau dieses Integral die
"Primärdefinition" ist - also keine "Herleitung"!
Natürlich gibt es zig andere mögliche Umformungen:
li(x)=Ei(log(x))
mit Ei(x)=ExpIntegralEi(x)
http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/ExpIntegralEi/26/01/01/0001/
ExpIntegralEi[z] = z*hyg2F2[{1, 1}, {2, 2}, z] + (1/2) (Log[z] - Log[1/z]) + EulerGamma
also auch nur eine hypergeometrische Funktion, denn laut
http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php
ist log(x)= (x-1)*hyg2F1(1,1,2,1-x)
Diese lange Formel wäre einfach zu lang -> also neuer Eigenname.
Es gibt nur sehr wenige Funktionen, die sich nicht aus hypergeometrischen Funktionen aufschreiben lassen -> alles nur eine Frage der Parameter und Länge.
Hypergeometrische Funktionen lassen sich oft schneller berechnen, als "normale" Summen. Bei Ei konvergiert hingegen eine bekannte Summe recht schnell:
http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/ExpIntegralEi/02/
Dann gibt es zig weitere Funktionen wie
http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/LogIntegral/27/01/0004/
...
Man kann schon den ln nur durch approximation bestimmen, von daher wäre es seltsam, wenn es für das Integral anders wäre.
Integral(1/ln(x)*dx=ln(ln(x))+ln(x)*(ln(x))^2/(2*2!)+(ln(x))^3/(3*3!)......
ln(ln(x)) hier ist (ln(x)) der Betrag
wie die Herleitung ist,weiss ich nicht
Formel hab ich aus den Mathe-Formelbuch
da steht ln (a) mit a=ln(x) hier muss a als betrag genommen werden.
Beispiel : x=5 ergibt a=ln(5)1,609 ergibt
ln(a)=ln(1,609)=0,47...
nun mit x=o,5 ergibt ln(0,5)=-0,693.. "negativ"
hier muss der betrag genommen werden also a=0,693
ergibt ln(0,693)=-0,3665..
HINWEIS: ln(-0,693) negativ ergibt "Error" eine negative Zahl ist nicht beim Logarithmus deffiniert
Also ist ln(ln(x)) bei dir das gleiche wie ln(|x|)?