Wie kann man prüfen, ob eine Symmetrie zur y-Achse vorliegt?
Meine Aufgabe ist zu verschiedenen Funktionen zu prüfen, ob Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse besteht. Für ersteres muss ich prüfen, ob die Gleichung aufgeht, wenn man für (X|Y) den Punkt (0|0) einsetzt. Aber was muss ich tun, um letzteres zu prüfen ?? Vielen Dank.
6 Antworten
Wenn eine (Achsen-)Symmetrie zur y-Achse besteht, gilt:
f(-x) = f(x)
Wenn eine (Punkt-)Symmetrie zum Koordinatenursprung (0|0) besteht, gilt:
f(-x) = -f(x)
Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.
LG Willibergi
Wenn der Punkt (0|0) auf dem Graphen liegt, heißt das nicht, dass irgendwas symmetrisch ist.
Ein triviales Beispiel für f(-x) = -f(x) ist der Sinus:
sin(-x) = -sin(x)
Beispiel:
sin(-π/2) = -sin(π/2)
-1 = -1
Eine andere punktsymmetrische Funktion ist beispielsweise x³:
(-x)³ = -x³
Beispiel:
(-2)³ = -2³
-8 = -8
Grundsätzlich gilt:
Wenn in einem Polynom nur ungerade Exponenten vorhanden sind, so ist der Graph punktsymmetrisch zu (0|0), sind nur gerade Exponenten vorhanden, so ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse (das Absolutglied hat hierbei den Faktor x⁰).
Weitere Beispiele für punktsymmetrische Graphen:
f(x) = x⁵ - 12x³ + 2x
f(x) = tan(x)
Weitere Beispiele für achsensymmetrische Graphen:
f(x) = x²
f(x) = 5
f(x) = cos(x)
LG Willibergi
Wenn eine Symmetrie zur Y-Achse vorliegen soll muss gelten:
f(x) = f(-x)
Weil es ja im Falle der Y-Achsen Symmetrie egal ist in welche "Richtung" du gehst, wenn du die gleiche "Strecke" auf der X-Achse zurückgelegt hast muss ja in beiden Fällen die selbe Strecke auf der Y-Achse zurückgelegt worden sein.
Das heißt jedes Polynom der Gestalt:
p(x) = ax^(2n) + ... + h*x^4 + d*x^2 + K
ist symmetrisch zur Y-Achse, denn es folgt durch einsetzen von -x :
p(-x) = a*(-x)^(2n) + ... + h*(-x)^4 + dx^2 + K
Und aufgrund von nur geraden Potenzen:
p(-x) = p(x)
Daraus folgt also, enthält ein Polynom n-ten Grades auschließlich gerade Exponenten (inklusive der Null mit x^0 = 1) folgt die Symmetrie zur Y-Achse.
wenn für " X " und " - X " der gleiche " Y "-Wert herauskommt (und zwar für alle " X "), dann ist das Ding achsensymmetrisch. Kann man sich schnell auch optisch klarmachen - stell' dir vor, du stellst einen Spiegel genau auf die y-Achse - wenn das Spiegelbild mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt, ist es eine Achsensymmetrie..
Symmetrie zur y-Achse bedeutet, dass f(x) = f(-x) ist.
Beispiel 1:
f(x) = 12x
12x != 12(-x)
12x = -12x | +12x
24x = 0 | :24
x = 0
Die Gleichung f(x) = f(-x) gilt hier nur für x=0. → nicht symmetrisch zur y-Achse.
Beispiel 2:
f(x) = x² - 9
x² - 9 != (-x)² - 9 | + 9
x² = (-x)²
x² = x² | -x²
0 = 0
Die Gleichung ist erfüllt für alle x. → symmetrisch zur y-Achse.
Nur weil ein Punkt im Ursprung liegt, ist das noch lange kein Indiz für Punktsymmetrie!! Also deine erste Prüfung musst du noch mal überdenken..
Punktsymmetrie: f(-x) =-f(x)
Achsensymmetrie: f(x) = f(-x)
Kann ich Symmetrie zum Ursprung nicht einfach prüfen, indem ich den Punkt (0|0) in die Gleichung einsetze ? Kannst Du für f(-x) = -f(x) mal ein Beispiel geben ? Das wäre sehr nett ;)