Wie kann man bei diesem Graphen den Funktionsterm bestimmen, (es gibt keine genaue Nullstelle)?
6 Antworten
Gegenüber den beiden Lösungen von poseidon42 und SoSohatsDRAUF habe ich eine erheblich Vereinfachung.
Auch ich gehe davon aus, dass Du eine möglichst einfache Funktion finden sollst, das wäre hier eine Funktion 3. Grades (prinzipiell käme auch 5., 7., ... Grades in Frage). Da die Funktion offensichtlich symmetrisch zum Ursprung ist, erhältst Du: f(x) = a·x³ + b·x.
Nun benötigst Du nur noch 2 Bedingungen. Da kannst Du gut mit dem Tiefpunkt (1|-2) arbeiten:
f'(1) = 0 sowie f(1) = -2.
Aus der ersten Bedingung kannst Du direkt den Parameter a berechnen, dann mit der zweiten den Parameter b. Die Lösung ist (natürlich) dieselbe.
Evtl. bleibt zu überprüfen, ob Du bei x=1 tatsächlich einen Tiefpunkt hast und nicht evtl. einen Hoch- ooder Sattelpunkt, denn Du hast nur die waagerechte Tangente ausgenutzt.
Wir legen einfach unterschiedliche Schwerpunkte bei unseren Antworten: Du bemühst Dich (eigentlich immer sehr gelungen) um eine ausführliche Lösung des Problems.
Ich versuche (nur), den Lösungsweg aufzuzeigen bzw. zu ihm hinzuführen. Der Rest kann sich dann durch Nachfragen ergeben.
Eine genaue Nullstelle gibt es schon mal, f(0) = 0
Außerdem kannst Du aus dem Graphen ablesen:
f(1) = -2, f'(1) = 0
f(-1) = 2, f' (-1) = 0
Damit hast Du 5 Bedingungen und kannst mit dem üblichen Verfahren die Funktionsgleichung bestimmen: Setze die Punkte / Bedingungen in die allgemeinen Gleichungen f(x) = ax³ + bx² + cx + d bzw. f'(x) = 3ax² + 2bx + c ein, Du erhältst ein Gleichungssystem mit 5 Gleichungen für 4 Unbekannte (a, b, c, d) - das sollte sich lösen lassen. Eine Gleichung hast Du dabei "übrig", die kannst weglassen und später als Probe benutzen.
Aus der Punktsymmetrie zum Ursprung folgt übrigens sofort, dass b und d beide 0 sein müssen, das Gleichungssystem reduziert sich also schnell auf 2 Unbekannte
Eine Nullstelle ist schon mal bei Null.
Man kann soweit ich das sehe noch 4 weitere Funktionswerte exakt ablesen, die sind zwar keine Nullstellen aber man braucht ja auch nicht zwangsläufig Nullstellen.
Da die Extrempunkte leicht ablesbar sind würde ich es so machen:
f'(x) = a(x-1)(x+1) = ax² - a
∫ f'(x) dx = ∫ ax² - ax dx = 1/3 ax³ - ax + C
C = 0 (Ursprung)
Noch a bestimmen:
Wir nehmen den Punkt (2|2)
2 = 8/3*a - 2a
2 = 2/3 a
a = 3 f(x) = x² - 3x
Wir haben es hier erstmal mit einer Funktion 3. Grades zu tun (2 Extrema + 1Wendepunkt).
---> f(x)= ax^3 +bx^2 + cx + d
Insgesamt sind 5 Punkte exakt abzulesen:
f(0) = 0
f(-1) = 2 f(-2)= -2
f(1) = -2 f(2) = 2
Ebenso können wir die Hoch- und Tiefpunkte ablesen, sowie die Koordinaten des Wendepunktes, daher lassen sich noch folgende Bedingungen formulieren:
f´(-1) = 0 und f´(1) = 0 (Bedingung für Extrema)
Ebenso muss gelten:
f´´(0) = 0 (Bedingung für Wendepunkte)
Die Ableitungen lauten:
f´(x)= 3ax^2 +2bx +c
f´´(x)= 6ax +2b
Daraus lässt sich nun die Funktionsgleichung basteln:
1.) f(x) = ax^3 +bx^2 + cx + d II f(0) = 0
---> d = 0 ---> f(x) = ax^3 +bx^2 + cx
2.) f´´(x)= 6ax +2b II f´´(0) = 0
----> b = 0
---> f(x) = ax^3 + cx f´(x)= 3ax^2 + c f´´(x)= 6ax
3.) f´(-1) = 0 = 3a + c II -3a
c= -3a
----> f(x)= ax^3 -3ax f´(x)= 3ax^2 -3a f´´(x)= 6ax
4.) f(2) = 2 = 8a - 6a
2 = 2a ---> a = 1
5.) Daraus folgt für die Funktion f(x):
f(x) = x^3 -3x
f´(x)= 3x^2 -3
f´´(x)= 6x
Genau das habe ich letztendlich auch gemacht :-)
Nur mit mehr Trara außenrum ;))