Funktionsterm bestimmen?

Der Graph einer Funktion f mit f(x) = a•e^b•x berührt die Gerade y=mx im Punkt P(2|1). Bestimme den Funktionsterm.

Auf m = 0,5 bin ich noch alleine gekommen aber wie bestimme ich jetzt aus dem Punkt P(2|1) und dem Anstieg den Funktionsterm?

Answer 1

[fjf100]

Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)

xo=2 ist die Stelle,wo die Tangente die Funktion f(x)=.. berührt

1) f(x)=a*e^(b*x) abgeleitet

2) f´(x)=a*b*e^(b*x)

3) f(t)=m*x → f(2)=1=m*2 → m=1/2=0,5

ft(x)=f´(xo)*x-xo*f´(xo)+f(xo) → b=0=-xo*f´(xo)+f(xo)

2) f´(2)=1/2=a*b*e^(b*2) → a=1/(2*b*e^(b*2))

1) f(2)=1=a*e^(b*2) → a=1/e^(b*2)

gleichgesetzt

1/(2*b*e^(b*2))=1/e^(b*2)

1/(2*b)=1

b=1/(2*1)=1/2=0,5

f(2)=1=a*e^(0,5*2) → a=1/e¹=1/e

f(x)=1/e*e^(0,5*x)=1*e^(0,5*x)/e¹=1*e^(0,5*x-1)

Potenzgesetz a^(r)/a^(s)=a^(r-s)

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert

Answer 2

[Jangler13]

Du hast 2 Variablen, also brauchst du auch 2 Gleichungen:

Die erste bekommst du aus dem gemeinsamen Punkt:

f(2)=1

Die zweite bekommst du daraus, dass die Funktion die Gerade berührt, somit ist die Steigung an 2 von beiden Funktionen gleich.

Also muss noch f'(2)=m=0.5 gelten.

Wenn du die entsprechenden Werte für X einsetzt bekommst du nun ein Gleichungssystem, das du lösen musst