Wie kann ich den minimalen Abstand zum Koordinatenursprung berechnen?
Ich habe die Funktion f(x)= - (1:12)x^2+12 gegeben und muss di Koordinaten des Punktes E(u;f(u)) berechnen und dieser Punkt soll den minimalen Abstand zum Koordinatenursprung haben.
Wie mache ich das?
3 Antworten
Abstand EO(x) = √(x² + (-x²/12+12)²)
EO'(x) = 0 → nach x auflösen
Da dies eine Extremwertaufgabe ist, kannst du die Wurzel bei EO(x) weglassen (die Ableitung wird dadurch einfacher!)
Die Wurzel hat mich sehr verwirrt, deswegen konnte ich die Aufgabe nicht lösen.
Ich danke dir auf jeden Fall!
Den Abstand d eines Punktes P(xₚ | yₚ) zum Koordinatenursprung ist durch
gegeben. Dies ergibt sich auch anschaulich aus dem Satz des Pythagoras, wonach man im folgenden rechtwinkligen Dreieck die Gleichung d² = xₚ² + yₚ² erhält.
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Im konkreten Fall ist der Abstand d(u) des Punktes E(u | f(u)) zum Koordinatenursprung dementsprechend durch
gegeben.
Setze nun entsprechend der Funktionsgleichung f(u) = -1/12 u² + 12 ein und vereinfache ein wenig. Dann kannst du d(u) als eine Funktion in der Variablen u sehen, von der du nun die Lage des Minimum bestimmen musst.
Wenn du in der Oberstufe bist, könntest du die Stelle bestimmen, indem du die erste Ableitung d'(u) bildest und berechnest, wo diese gleich 0 ist. Ansonsten kann man aber auch einfach feststellen, dass die Wurzel genau dann minimal ist, wenn das was unter der Wurzel steht minimal ist. Und unter der Wurzel kann man eine quadratische Ergänzung durchführen, um das Minimum erkennen zu können.
Ich habe dir hier mal zum Vergleich einen Lösungsvorschlag aufgeschrieben: https://i.imgur.com/L8NjTWt.png
Bei diesem habe ich das Minimum mit einer Art quadratischen Ergänzung unter der Wurzel gefunden.
Alternativ könnte man (wie bereits geschrieben) auch die Nullstellen der ersten Ableitung zur durch d(u) gegebenen Funktion berechnen, um damit dann auf die Minimumstellen zu kommen. [Du solltest die Minimumstellen u = -√(72) und u = √(72) sowie die Maximumstelle u = 0 finden können.] Bzw. könntest du statt d(u) auch (d(u))² untersuchen, damit du die Wurzel nicht mitschleppen musst.
Der Abstand ist
√(x²+y²)
Die Wurzel kannst du weglassen, also
d(x) = x² + (-(1/12)x² + 12)²
Ableiten, Nullstellen suchen. Wegen der Symmetrie
gibt es zwei Lösungen.