Wie berechnet man den minimalen Abstand zwischen zwei Funktionen?
Hallo zusammen,
Ich benötige unbedingt Hilfe bei einer Mathe Aufgabe. Ich muss den minimalen senkrechten Abstand zwischen einer quadratischen und linearen Funktion berechnen.
Quadratische Funktion: f(x)= 1/300x^3-1/10x²+44/3
Lineare Funktion: g(x)= -0,4x+8
2 Antworten
Bilde die Differenzfunktion
und bestimme von dieser die Extremstellen.
Das führt in diesem Fall aber nicht zur richtigen Lösung, weil sich beide Funktionen in einem Punkt schneiden.
Falls sich die Funktionen nicht schneiden, dann liefern die Extremstellen von d(x) die möglichen Stellen. Man muss aber das Minimum des Betrags |d(x)| finden.
Das ist nicht sehr kompliziert. Der vertikale Abstand für einen gegebenen x-Wert ist ja der Betrag der Differenz der dazugehörigen Funktionswerte, also: |f(x) - g(x)|
Von diesem Betrag musst du das Minimum finden. Also welches x liefert den kleinsten Betrag. Der triviale Fall ist ja, dass sich beide Funktionen schneiden. Dann ist der Betrag 0. Wenn du also ein x findest, dass f(x)-g(x)=0, dann ist der minimale senkrechte Abstand 0. Und das ist bei dir auch der Fall.
Falls das aber nicht der Fall ist, dann musst du das globale Minimum von |f(x)-g(x)| finden. Wie man das globale Minimum einer Funktion findet solltest du wissen:
- lokale Minima finden
- an den Grenzen der Funktion schauen ob es globale Minima gibt die kleiner sind als die lokalen Minima
Um die lokalen Minima zu finden musst du ja als erstes die Funktion ableiten. Das ist mit dem Betrag schwierig. Den Betrag musst du auflösen. Dabei können drei Fälle auftreten:
- f(x) > g(x), ∀x -> |f(x)-g(x)| = f(x) - g(x)
- f(x) < g(x), ∀x -> |f(x)-g(x)| = g(x) - f(x)
- f(x) = g(x), ∃x -> |f(x)-g(x)| = 0, ∃x
Der letzte Fall bedeutet, dass sich beide Funktionen schneiden. Dann wäre der senkrechte Abstand 0. Das hast du aber ja schon vorher untersucht und tritt daher nicht auf.
@max32168 ich habe eine ähnliche Aufgabe und verstehe deine Erklärung nicht richtig. Kannst du es nochmal etwas einfacher erklären ich besuche die 11. Klasse und verstehe nicht alles ganz.
Ok, dann versuche ich es mal mit etwas weniger mathematischer Schreibweise.
Der vertikale Abstand der Funktionen ist die Differenz der Funktionen. Da aber der Abstand immer positiv ist, musst du den Betrag dieser Differenz nehmen, also:
d(x) = | f(x) - g(x) |
Um den minimalen Abstand zu finden muss diese Differenz d(x) minimal werden. Dabei kann ein Sonderfall auftreten. Dieser Sonderfall ist d(x)=0 für ein bestimmtes x. Wenn die Differenz 0 ist, dann haben beide Funktionen den gleichen Funktionswert, also schneiden sich. Das habe ich mit trivialer Fall bezeichnet.
Um das zu prüfen musst du f(x)=g(x) setzen und nach x umstellen. Wenn das möglich ist und für x ein konkretes Ergebnis rauskommt, dann haben die Funktionen einen Schnittpunkt. Der minimale vertikale Abstand ist dann 0.
Schneiden ich die Funktionen nicht, dann musst du d(x) betrachten. Von dieser Funktion musst du den kleinsten Funktionswert finden. Das ist in dem Fall eine Minimalstelle (weil d(x) immer positiv ist). Wie man eine Minimalstelle findet müsstest du wissen.
Eine Mögliche Schwierigkeit beim finden der Minimalstelle (also ableiten und 0 setzten) ist der Betrag. Den Betrag musst du vorher auflösen. Da du weist, dass d(x) nicht 0 ist (hast du ja vorher schon überprüft), gibt es zwei Fälle:
- f(x) > g(x) für alle x
- f(x) < g(x) für alle x
Im ersten Fall ist das was im Betrag steht positiv und damit ist d(x)=f(x)-g(x). Im zweiten Fall ist das was im Betrag steht negativ und du musst es mit -1 multiplizieren wenn du den Betrag weglässt. Damit ist dann d(x)=g(x)-f(x).
Damit hast du nun den Betrag aufgelöst und du kannst die Minimalstellen von d(x) bestimmen. Diese dann in d(x) einsetzten und du hast den Abstand.
Danke dir! Ich hab die Extremstellen bestimmt. TP liegt bei (17,74|0,90) und HP (2,26|7,09) muss ich dann y2-y1 berechnen?