Wie ermittel ich log10(0,003) und log10(3^5) ohne Taschenrechner wenn ich in der Aufgabenstellung log10(3) = 0,4771 gegeben habe?

der erste Teil von MeRoXas ist richtig. Aber:
log10(0.003)=log10(3*10^[-3])=log10(3)+(-3)*log10(10)=-3+log10(3). Rest selbst rechnen.

Ausprobieren.
Anders geht es leider nicht.

log(3^5) ist ja das gleiche wie 5*log(3).
Log(3) ist ja die Zahl mit der du 10 potenzieren musst, damit du 3 erhältst.
Und dann kannst du halt nur probieren, und so einen immer genaueren Wert ermitteln.
Dann, wenn der Wert ermittelt wurde, musst du diesen noch mit 5 mal nehmen.
Das andere ist etwas einfacher:
0.003 ist das gleiche wie 3*10^(-3).
Dann hast du also log(0.003) = log(3*10^(-3)).
Jetzt kommt der Clou:
log(a*b) = log(a) + log(b)
Deswegen ist log(3*10^(-3)) = log(3) + log(10^(-3)).
log(10^(-3)) = (-3)*log(10)
log(10) = 1, denn log heißt ja logarithmus aus irgendwas zur Basis 10, und da der Ausdruck im Logarithmus gleich der Basis des Logarithmus´ ist, ergibt der Ausdruck 1.
Somit ist (-3)log(10) = (-3)*1 = (-3)
Den log(3) hast du ja schon vorher ermittelt.

Ich hoffe ich konnte dir helfen! :)
JTR

log10(3^5)=5*log10(3)

=5*0.4771...

=2.3855... (schriftlich multiplizieren, ab einem geeigneten Wert runden

log10(0.003)=log10(3*10^-3)

=10^-3 * log10(3)

=10^-3 * 0.4771...

=0.0004771... (Komma um 3 Stellen nach rechts, wieder runden)