ln(sin(x))−log10(cos(x))⋅ln(10)=0 , x bestimmen?
Es wäre schön, wenn mir jemand eine Schritt für Schritt Erklärung dafür abgeben könnte. Bin gerade am verzweifeln und die Aufgabe ist echt wichtig.
3 Antworten
Hallo,
wenn Du den Zehnerlogarithmus einer Zahl mit dem natürlichen Logarithmus von 10 multiplizierst, bekommst Du den natürlichen Logarithmus dieser Zahl:
lg(x)*ln(10)=ln(x).
Nichts anderes passiert in Deiner Gleichung.
Wenn wir sie mal umschreiben, wird sie wesentlich einfacher:
ln(sin(x))-ln(cos(x))=0
ln(sin(x))=ln(cos(x))
sin(x)=cos(x)
Das ist bei einem Winkel von 45° der Fall. x ist also 45° oder Pi/4.
Herzliche Grüße,
Willy
Weißt du, wie man einen Logarithmus auf eine andere Basis bringt?
Damit kannst du die Logarithmen erst einmal auf dieselbe Basis beziehen.
Dann erinnere dich an die Logarithmengesetze, hier insbesondere der Logarithmus eines Quotienten.
Was ist die Umkehrfunktion des Logarithmus, bzw. wie wird man einen Logarithmus in einer Gleichung los?
Für die trigonometrischen Funktionen gibt es Formeln, wie man Summen/Differenzen in Produkte und umgekehrt bzw. in trigonometrische Funktionen von doppelten/halben Winkeln umwandelt.
Beachte, dass die Umkehrungen der trigonometrischen Funktionen nicht eindeutig sind.
ln(sin(x)) − log _ 10 (cos(x)) * ln(10) = 0
Gesetz -->
log _ a (b) = ln(b) / ln(a)
Daraus folgt -->
log _ 10 (cos(x)) = ln(cos(x)) / ln(10)
und daraus folgt -->
log _ 10 (cos(x)) * ln(10) = ln(cos(x))
Damit vereinfacht sich deine Gleichung zu -->
ln(sin(x)) - ln(cos(x)) = 0
Gesetz -->
ln(a) - ln(b) = ln (a / b)
Daraus folgt -->
ln(sin(x)) - ln(cos(x)) = ln(sin(x) / cos(x))
Damit vereinfacht sich deine Gleichung zu -->
ln(sin(x) / cos(x)) = 0
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ln(sin(x) / cos(x)) = 0 | e ^ (...)
sin(x) / cos (x) = e ^ 0
e ^ 0 = 1
sin(x) / cos(x) = 1 | * cos(x)
sin(x) = cos(x)
Wie Willy1729 schon geschrieben hat, ist dies der Fall für -->
x = 45 ° + k * 180 ° mit k Element der Ganzen Zahlen (Gradmaß)
oder im Bogenmaß für x = pi / 4 + k * pi mit k Element der Ganzen Zahlen