Wie bestimme ich den Abstand der Folgenglieder zum Grenzwert?

Hi,

ich verstehe die Aufgabe so wenig, dass ich nicht einmal eine Frage stellen kann, da ich die Aufgabenstellung nicht verstehe.

Das normale Ergebnis habe ich

bei (1) ist es 5

bei (2) ist es 0

bei (3) ist es 0

Aber was ist mit den 0,0005 zu tun hat, weiss ich nicht.

Kann mir das jemand erklären?

MfG

Answer 1

[eddiefox]

Hallo,

die Grenzwerte, die du angegeben hast, sind richtig.

Aufgabe 1)

Nennen wir die Zahlenfolge (aₙ) , d.h.

$a_n=\frac{7}{10n}+5$

und ihren Grenzwert g .

Die Frage lautet:
ab welchem Index n ist der Abstand zwischen aₙ und g kleiner als 0,0005=1/2000 ?

Nun muss man wissen, wie der Abstand zwischen aₙ und g definiert ist:

Abstand(aₙ , g) := |aₙ - g|

(so wie der Abstand zwischen zwei reellen Zahlen a und b der Term |a - b| ist).

Es soll also gelten:

$\mid a_n-g\mid=\mid\frac{7}{10n}+5-5\mid<0.0005=\frac{1}{2000}$

Diese Ungleichung muss man nach n auflösen. Es gilt

$\mid\frac{7}{10n}+5-5\mid=\frac{7}{10n}<\frac{1}{2000}$

$\frac{7\cdot2000}{10}<1\cdot n=n$

$n>\frac{14000}{10}=1400$

D.h. ab n = 1401 ist der Abstand zwischen Folgendglied aₙ und Grenzwert 5 kleiner als 0,0005. Machen wir die Probe:

$\mid a_{1400}-5\mid=\frac{7}{10.1400}=\frac{7}{14000}=0,0005$

$\mid a_{1401}-5\mid=\frac{7}{10\cdot1401}\approx0,0004996$

Wie man sieht, ist der Abstand zwischen aₙ und 5 ab dem 1401sten Folgenglied in der Tat kleiner als 0,0005.

Nach dem gleichen Muster gehst du bei den anderen Aufgaben vor. Allerdings lässt sich Aufgabe 2) nur schwer lösen. Da kommst du wohl nur durch Raten zum Ziel.

Ich habe die Aufgabe bei Wolframalpha eingegeben und finde n > 500 .
Die Probe lässt sich aber "per Hand" und Taschenrechner machen.

Aufgabe 3) ist quadratisch in n und leichter lösbar.
Zu deinem Vergleich: das Ergebnis lautet n > 52 .

Gruß