Ebene die parallel und den Abstand 3 von einer anderen Ebene hat?

Also die Aufgabenstellung lautet:

Gegegen ist die Ebene E: 2x1-2x2-x3=4. Bestimmen Sie eine zu E parallele Ebene F, die von E den Abstand 3 hat.

Ich hab jetzt alles probiert aber komme nicht auf das Ergebnis, Vllt kann mir ja einer helfen.

Danke

Answer 1

[ralphdieter]

Die Parallelebene hat natürlich die Normalform 2x₁-2x₂-x₃=d. Gesucht ist d.

In der hesseschen Normalform (HNF) hat der Normalenvektor (oben: n=(2, -2, -1)) die Länge 1. Dann ist die Zahl auf der rechten Seite der Abstand der Ebene zum Ursprung. Bei der Ebene F sollen das genau drei mehr oder weniger sein als bei E.

1. Teile also die Gleichung für E durch die Länge ihres Normalenvektors.
2. Dann addiere oder subtrahiere auf der rechten Seite 3. Das wird die HNF für F.
3. Wenn Du keine Brüche magst, kannst Du das Ergebnis wieder mit der Länge des Normalenvektors multiplizieren. Muss aber nicht sein.