Wie bestimmt man die Grenzwerte einer Funktion?
Ich habe in der Schule jetzt Grenzwert bestimmen mit Limes usw. Wir haben dann Aufgaben bekommen und ich verstehe sie einfach garnicht... Wie rechnet man die Grenzwerte von z.B. diesen Funktionen:
f(x)= 2 / x-2 -3 also / ist ein Bruchstrich f(x) = 2/x + wurzel aus x
Ich hoffe, irgendjemand kann mir helfen Danke im Vorraus:))
3 Antworten
Wichtig ist noch Grenzwert gegen was ? Gegen unendlich ?
Bei der Grenzwertbestimmung bei gebrochen-rationalen Funktionen musst Du neben den Grenzwerten am "Randbereich" (also plus-/minus-Unendlich) auch die Grenzwerte an den Definitionslücken bestimmen.
Zur Bestimmung gegen unendlich setzt Du einfach große Werte ein (gedanklich oder mit dem Taschenrechner).
Bei gebrochenrationalen Funktionen gibt es folgende Varianten:
1. Zählergrad größer als Nennergrad: die Funktion läuft dann gegen unendlich (der Zähler wächst schneller an als der Nenner; dann kommt es nur noch auf die jeweiligen Vorzeichen von Zähler und Nenner an: sind beide Vorzeichen gleich, dann ist der Grenzwert plus-unendlich, sonst minus-unendlich)
2. Zählergrad kleiner als Nennergrad: die Funktion läuft gegen Null (der Nenner wächst schneller, dadurch wird der Bruch immer kleiner; hier gibt das Vorzeichen an, "aus welcher Richtung" es gegen Null geht (von oben ("+0") oder von unten ("-0"))
3. Zähergrad gleich Nennergrad: die Koeffizienten der höchsten Grade geben den Grenzwert an (Beispiel: f(x)=(2x³-x+1)/(-3x³+x²-125) => Grenzwert=-2/3)
Dann kommen noch die Grenzwerte Richtung Definitionslücke: Hier wird der Nenner gegen Null tendieren, d. h. der gesamte Bruch läuft (in der Regel) ins unendliche (hier kommts wieder auf die Vorzeichen an). Ausnahme: Erhälst Du beim Einsetzen der Definitionslücke 0/0, wird also auch der Zähler an der Definitionslücke Null, dann hast Du eine "behebbare Nullstelle", d. h. Du kannst "(x-Lücke)" wegkürzen und erhälst einen konkreten Grenzwert.
Beispiel:
f(x)=(x²-1)/(x-1) => Lücke bei x=1, aber f(1)=0/0
Kürzen: (x²-1)=(x+1)(x-1) => f(x)=(x+1)(x-1)/(x-1)=x+1
=> lim f(x) x->1 = f(1)=2
zu Deinen Aufgabe:
1.) f(x)=2/(x-2)-3
Läuft x->+/-Unendlich, dann wird vorne der Bruch Null (Zählergrad (=0) ist kleiner als Nennergrad (=1)), d. h. es bleibt -3 übrig. Das ist der Grenzwert im Unendlichen.
Für x->2 von rechts kommend läuft der Nenner gegen Null, bleibt aber positiv, daher ist der Grenzwert plus-unendlich.
Für x->2 von links kommend ist der Nenner negativ, also auch der gesamte Bruch, daher ist hier der Grenzwert minus-unendlich.
Bei der 2. Aufgabe soll das Wurzel(x) wohl hinter dem Bruch stehen.
Der Def. Bereich ist hier D=IR+, also die positiven reellen Zahlen, also sind hier die Randwerte Null und plus-unendlich.
Für x->0 ist die Wurzel=0 und der Bruch wird unendlich groß, also lim x->0 = plus-unendlich
Für x->unendlich wird der Bruch Null und es bleibt Wurzel(x) übrig. Wird x immer größer, wird auch die Wurzel immer größer, also
lim x->plus-unendlich = plus-unendlich
Schau mal auf Youtube das Video für den Limes von thesimplemaths (oder wie die heißen) an