Wie bestimme ich hier den Konvergenzradius?

Hallo,
kann mir jemand erklären wie ich den Konvergenzradius der folgenden Reihe bestimmen kann:

Normalerweise würde ich bei einer Potenzreihe den Teil der mit x multipliziert wird einzeln betrachten und z.b. das Wurzelkriterium anwenden, das geht hier aber nicht wirklich.
In der Lösung steht r = 1.

Weiß jemand wie man auf r = 1 kommt?

Answer 1

[mihisu]

Vergleicht man...

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^{2n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(x^{2}\right)^{n}$

... mit der geometrischen Reihe...

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n$

..., so kann man erkennen, dass es sich um eine geometrische Reihe mit q = x² handelt.

Eine geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn |q| < 1 ist. Im konkreten Fall erhält man also als Konvergenzbedingung |x²| < 1...

$\left\lvert x^2\right\rvert< 1\quad\Leftrightarrow\quad \left\lvert x\right\rvert^2< 1\quad\Leftrightarrow\quad \left\lvert x\right\rvert< 1$

Dementsprechend hat die Reihe den Konvergenzradius 1, da die Reihe für |x| < r mit r = 1 konvergiert.

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Alternativ kann man auch die Formel von Cauchy-Hadamard verwenden.

Es ist...

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^{2n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}\quad \text{ mit }\quad a_n=\begin{cases}1 & \text{ für }n\text{ gerade} \\ 0 & \text{ für }n\text{ ungerade}\end{cases}$

Dabei ist dann...

$\sqrt[n]{\left\lvert a_n\right\rvert}=\begin{cases}\sqrt{\left\lvert 1\right\rvert}=1 & \text{ für }n\text{ gerade} \\ \sqrt{\left\lvert 0\right\rvert}=0 & \text{ für }n\text{ ungerade}\end{cases}$

Diese Folge der n-ten Wurzeln von |aₙ| hat offensichtlich die beiden Häufungspunkte 1 und 0, wobei 1 der größere Häufungspunkt ist. Dementsprechend ist dann...

$\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left\lvert a_n\right\rvert}=1$

Für den Konvergenzradius der Reihe erhält man dann mit Hilfe der Formel von Cauchy-Hadamard...

$r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left\lvert a_n\right\rvert}}=\frac{1}{1}=1$

Answer 2

[Dogetastisch]

Durch die Umformung x^(2n) = (x^2)^n erhält man eine grometrische Reihe. Dafür sollte der Konvergenzradius hekannt sein, nämlich |x^2| < 1, also |x| < 1. Für die Randfälle ist die Folge keine Nullfolge, also divergiert die Reihe.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – B.Sc. Mathematik & Informatik