Warum darf ich hier auch nur eine Teilfolge betrachten, beim Konvergenzradius?

cos ist ja nur 1 für die Teilfolge, warum entspricht die Betrachtung der Teilfolge gleich der Konvergenz der ganzen Potenzreihe?

(Wir haben gelernt bzw. einen Satz, dass Konvergenz, wenn die für eine Teilfolge geht, für alles gilt, aber den Satz haben wir bei Folgen und nicht bei Potenzreihen eingeführt?)

Answer 1

[PWolff]

Diese Teilfolge ist gerade so gewählt, dass der Nenner minimal wird. (Im Allgemeinen muss man hier den Betrag nehmen, aber hier ist der Nenner immer positiv.) Deshalb funktioniert das hier.

Im Allgemeinen stimmt das weder für Folgen noch für Reihen.

(1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, ...) divergiert, aber die Teilfolge

(1, 1, 1, 1, ...) konvergiert gegen 1.

Da würde mich mal interessieren, wie die genaue Formulierung des Satzes ist, nach dem aus der Konvergenz einer Teilfolge auf die Konvergenz der gesamten Folge geschlossen werden kann.

Comments

[DerRoll]

Es wird nicht aus einer Teilfolgenkonvergenz auf die Konvergenz der Reihe geschlossen. Es wird der limsup der Wurzelfolge berechnet um den Konvergenzradius zu bestimmen, das ist

https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzbereich#Der_klassische_Satz_von_Cauchy-Hadamard

[PWolff]

@DerRoll

Hast recht. Da habe ich nicht aufgepasst.

Die Überlegungen zur Betrachtung nur einer Teilfolge sind davon aber unabhängig.

[DerRoll]

@PWolff

Eigentlich nicht, denn es geht ja in der Frage nur um den Konvergenzradius. Und es wird ja begründet warum gerade diese Teilfolge zum Limsup führt.

[PWolff]

@DerRoll

Stimmt - da hätte ich noch darauf eingehen sollen, wieso diese Folge gerade die Teilfolge mit den auch im Limes inferior minimalen Nenner-Werten darstellt.