Wie berechne ich, ob ein Funktionswert (quadratische Funktion) negativ sein kann, oder nicht?
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Dazu kann man so vorgehen:
- Suche die Nullstellen von f, also die Lösungen der Gleichung f(x) = 0. Da f quadratisch ist, hat sie entweder keine, genau eine oder zwei Nullstellen.
- Falls f keine Nullstelle hat, sind entweder alle f(x) > 0 oder alle f(x) < 0 (denn um das Vorzeichen zu wechseln, müsste f die x-Achse schneiden, also dort eine Nullstelle haben). Berechne f(x1) für einen beliebigen Wert x1. Falls f(x1) < 0, sind alle f(x) < 0. Falls f(x1) > 0, sind alle f(x) > 0, also kann dann kein Funktionswert negativ sein.
- Falls f genau eine Nullstelle x0 hat, gilt entweder für alle x ≠ x0 f(x) > 0 oder für alle x ≠ x0 f(x) < 0. Teste wie in Nr. 2, welcher der beiden Fälle zutrifft.
- Falls f zwei Nullstellen hat, wechselt f dort jeweils das Vorzeichen und hat zwischen den beiden Nullstellen überall dasselbe Vorzeichen und außerhalb überall das entgegengesetze Vorzeichen. Insbesondere kann der Funktionswert negativ sein.
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Nullstellen berechnen und für die daraus entstehenden Intervalle jeweils einen Wert einsetzten.
Oder f(x) < 0 versuchen zu lösen.
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Was wie zum beispiel?
f(x) = x^2 - 4
x^2 - 4 = 0
x^2 = 4
x = +- 2
--> (-unendlich;-2] (-2;2) [2;unendlich)
- Intervall: f(-5) > 0
- f(0) = -4 < 0
- f(5) > 0
Also hat die Funktion im Intervall von (-2:2) negative Funktionswerte
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Falls du es direkt über f(x) < 0, hier x^2 - 4 < 0 lösen willst, brauchst du Fallunterscheidung.
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Indem du versuchst, die Ungleichung f(x) < 0 zu lösen.
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ja, aber dann steht da sowas wie x kleiner.... aber ich will ja nicht x wissen, sondern ob f(x), der Funktionswert, kleiner als 0 sein kann
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Dann kann man Bedingungen für x ausrechnen, für die f(x) kleiner 0 ist.
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verstehe ich nicht ganz??? Können Sie vlt. ein Beispiel machen?
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dann weiß ich, wie groß x sein darf, aber doch nicht, ob der funktionswert negativ sein kann, oder?
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Wenn du mit "f(x) < 0" anfängst, erhälst du (möglicherweise) Bedingungen für x, für die f(x) < 0 ist (Probe nicht vergessen). Bsp: f(x) = x -1
f(x)= x-1 < 0
x < 1, für diese x-Werte ist f(x) < 0
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und was passiert, wenn es keine negativen Werte gibt? Danke nochmal, sehr hilfreich deine Antwort :D
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Wenn es keine negativen Werte gibt, kommt bei der Ungleichung Unsinn raus. Z.B. f(x) = x^2 < 0
Betrag(x) < 0
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was ist daran unsinn? also +x kleiner 0 -x kleiner 0 moment, jetzt muss ich mal das erst verarbeiten
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das heißt ja +x kleiner 0 und -x kleiner 0, dann muss man ja -x kleiner 0 beachten, aber da ist doch nix komisch, oder bin ich jetzt selber ein bisschen verwirrt
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oh, ah stimmt (hehe), das ist mir überhaupt nicht in den Sinn gekommen, gut, aber jetzt weiß ich das ja. Heißt also -x und +x müssten beide größer gleich 0sein?
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Ja, das müssen sie, so ist nämlich der Betrag definiert.
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okay danke, die Diskussion war wirklich hilfreich. Du hast dir eine Auszeichnung verdient :D
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Indem du einen negativen Funktionswert in die Gleichung einsetzt und überprüfst ob es eine Lösung gibt
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Du guckst dir die Funktion an.
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ja, wie zum Beispiel?