Grenzwert einer Reihe mit Fakultäten?

2 Antworten

Man kann von einer bekannten Reihe ausgehen, in diesem Fall der erzeugenden Funktion der mittleren Binomialkoeffizienten,

Summe( k=0, unendlich) (2k über k) x^k = 1 / Wurzel( 1 - 4x ),

und dann diese "customizen", etwa wie folgt,

Substitution (x/2)^2 für x,

Summe( k=0, unendlich) (2k über k) (x/2)^(2k) = 1 / Wurzel( 1 - x^2 ),

Multiplikation mit x/2,

Summe( k=0, unendlich) (2k über k) (x/2)^(2k+1) = x/2 / Wurzel( 1 - x^2 ),

Integration, (rechte Seite mit passender Konstante, so dass x=0 zu 0 führt),

2 * Summe( k=0, unendlich) (2k über k) (x/2)^(2k+2) / (2k+2) = 1/2 - Wurzel( 1 - x^2 ) / 2,

Zweier kürzen,

Summe( k=0, unendlich) (2k über k) x^(2(k+1)) / 2^(2k+1) / (k+1) = 1 - Wurzel( 1 - x^2 )

Dabei ist (2k über k) / (k+1) = (2k)! / k! / (k+1)!

Das Ergebnis ist also 1 - Wurzel( 1 - x^2 ), selbstredend für |x|<1


skorp42 
Beitragsersteller
 05.01.2023, 15:00

Danke für die ausführliche Antwort.

Die Lösung über Integration habe ich (leider) erwartet und das ist natürlich auch vollkommen korrekt!

Allerdings wollte ich hier eigentlich wissen, wie man sowas auf die klassische Art angehen würde, also z.B. Grenzwertberechnung mit Quotientenkriterium. Mir fehlt dafür irgendwie der richtige Ansatz.

Trotzdem, vielen Dank für die Mühe!

eterneladam  05.01.2023, 15:57
@skorp42

Gerne. Das Quotientenkriterium dient zur Prüfung der Konvergenz, aber nicht zur Berechnung des Grenzwerts. Eine "klassische Art" der Grenzwertberechnung gibt es m.E. nicht.

Versuchs nochmal mit dem kürzen der Fakultäten. Da kannst du einiges machen.


skorp42 
Beitragsersteller
 05.01.2023, 12:21

Danke!

Kürzen habe ich bereits leider vergeblich versucht.