Wie berechne ich den Scheitelpunkt einer Parabel mit Abhängigkeit von a?
Ich sitze gerade an dieser Aufgabe: fa:x|---> -1/2x²+2ax-2a²+3 Ermitteln Sie in Abhängigkeit von a Koordinaten des Scheitelpunktes Sa der Parabel Gfa
Ich habe leider keine Ahnung wie das geht, ich hoffe, jemand kann helfen :/ Danke
4 Antworten
Die Funktion fa(x) = -½x² + 2ax - 2a² + 3 steht in der Normalform. Um den Scheitelpunkt einfach ablesen zu können, musst du die Funktion in die Scheitelpunktform umformen. Dafür musst du die binomische Formel (entweder 1. oder 2.) quasi rückwärts anwenden. Du musst also Klammern erschaffen.
Entweder machst du das mit reinem logischen bzw. mathematischem Denken und kommst selbst drauf. Wenn das nicht gelingt, musst du die quadratische Ergänzung anwenden.
Ich habe sie hier einmal sehr ausführlich aufgeschrieben:
Dazu auch das Video, womit es jeder können sollte:
https://youtube.com/watch?v=WtADWqKt5UM
Ich mache es nun mal mit logischem Denken.
fa(x) = -½x² + 2ax - 2a² + 3
Die Grundgleichung der Scheitelpunktform lautet:
f(x) = a(x-d)² + e
Du siehst schon einmal den Vorfaktor -½, der der Stauch- und Streckfaktor a sein muss und somit vor der Klammer steht.
Wichtig: Verwechsle den Stauch- und Streckfaktor a, der auch in der Grundgleichung zu finden und fett-gedruckt ist nicht mit dem Parameter a aus deiner Funktion fa!
Die +3 stehen am Ende hinter der Klammer und haben mit der bin. Formel nichts am Hut. Das wäre also unser e. Wir wissen also bereits:
f(x) = -½(x-d)² + 3
Jetzt fehlt uns noch das d.
Damit bleibt uns x² + 2ax - 2a². Daruas muss die 1. binomische Formel werden. Du weißt, dass 2ax und -2a² bereits mit 1/2 multipliziert wurden. Sie wurden also halbiert und haben das entgegengesetzte Vorzeichen bekommen. Die eigentliche Lösung der binomischen Formel war/ist also:
x² - 4ax + 4a²
Daraus kannst du nun einfach folgende binomische Formel rückwärts machen:
(x-2a)². Nochmal ausmultipliziert:
= x² - 2*2ax + 4a²
Wenn du dies nun wieder mal -1/2 rechnest, wären wir wieder bei der Ausgangsfunktion (ohne die +3).
Damit ergibt sich die Scheitelpunktform
fa(x) = -½(x-2a)² + 3
Der Scheitelpunkt liegt bei S(d|e), also hier bei S(2a|3). Wichtig: Denke dran, dass der Buchstabe d (also die x-Koordinate des Scheitelpunkts) einen Vorzeichenwechsel bekommen hat.
Jetzt kannst du das in die Funktion einfach einsetzten und nach a auflösen:
fa(2a) = 3
-½x² + 2ax - 2a² + 3 = 3 |-3
-½x² + 2ax - 2a² = 0
Jetzt weiter nach a auflösen. Das überlasse ich nun dir.
Liebe Grüße
TechnikSpezi
Eine Moeglichkeit waere folgende Umformung:
fa(x)
= -1/2 x^2 + 2a x - 2a^2 + 3 [-1/2 ausklammern]
= -1/2 (x^2 - 4ax + 4a^2) + 3 [Binomische Formel "rueckwaerts"]
= -1/2 (x - 2a)^2 + 3
Der Scheitel liegt also bei Sa(2a|3).
Warum ist dort der Scheitel? Nun ja, wenn Du fuer x etwas anderes einsetzt als 2a, wird von 3 etwas abgezogen (das Quadrat ist immer positiv). Also kommt bei x=2a der groesste Wert raus, naemlich 3. Der Scheitelpunkt liegt also bei x=2a und y=3.
Falls Du noch keine Ableitungen hast, wovon ich mal ausgehe, dann schau Dir mal dieses durch. https://de.serlo.org/mathe/funktionen/wichtige-funktionstypen-ihre-eigenschaften/quadratische-funktionen-parabeln/scheitelpunkt/scheitelpunkt-parabel.
Falls Du aber schon ableiten (differenzieren) kannst, dann setzt Du die erste Ableitung Null und löst nach x auf. Das liefert Dir die x-Koordinaten des Scheitels.
tu einfach so, als ob a eine feste Zahl (wie 5 oder 3,14) wäre.
Ein Tipp:
-1/2x²+2ax-2a²+3 = -1/2(x²-4ax+4a²)+3