Wie auf 4 signifikante Stellen runden?
Sind diese Beispiele korrekt?:
0.45678646 = 0.4568
0.0005686162 = 0.0005686
10278,714 = 10280
Ich habe mich bereits im Internet informiert. Aber ich bin trotzdem noch verwirrt. Deswegen bitte ich um eine einfach gehaltene Erklärung. Vielen Dank.
5 Antworten
Signifikant bedeutet, dass uns nur die ersten Zahlenfolge aus 4 Ziffern, die nicht mit einer 0 beginnt. Gerundet wird in der Regel bei 0-4 ab, also auf 0 und bei 5-9 auf, also quasi auf "10".
0.45678646 gekürzt auf 4 signifikante Nachkommastellen wäre 0.4567 - Nun betrachten wir uns die erste Ziffer, die wegfällt, also die 8. Die 8 ist größer als 5, also runden wir auf "10". Die 1 "rutscht" dabei einen nach Vorne, wird also auf die Ziffer davor addiert. Dadurch ergibt sich 0.4568!
Das nächste Beispiel zeigt ganz gut was "signifikant" bedeutet, nämlich aussagekräftig. Würden wir ganz einfach auf 4 Nachkommastellen runden, hätten wir 0.0006, also nicht besonders aussagekräftig. Daher betrachten wir uns die ersten Zahlen die nicht 0 sind, eben die 5686. Die erste Ziffer hinter dieser Zahlenfolge ist die 1, also kleiner als 5. Daher runden wir ab auf 0, an der 5686 verändert sich also nichts.
Auch beim letzten Beispiel interessieren uns wieder die ersten 4 Zahlen, die nicht 0 sind, also 1027. Die Ziffer nach der Folge ist eine 8, wir runden also auf, wodurch die Folge 1028 entsteht. Da wir aber vor dem Komma keine Stellen "streichen" dürfen, muss die Anzahl der Ziffern unverändert bleiben, daher füllen wir die Differenz mit Nullen auf, wodurch 10280 rauskommt.
Ich hab ganz bewusst die Exponentialschreibweise außen vorgelassen da sie vermutlich noch nicht behandelt wurde und nur noch mehr Unsicherheit schafft. Wäre die Schreibweise bekannt, hätte auch niemand 0.0005... geschrieben, sondern 5. ... * 10^-4. Wurde es aber nicht. Also bleibt einem nichts anderes über als die ersten 4 signifikanten Stellen zu betrachten und diese gefolgt von Nullen als ganzheitliche Dezimalzahl zu schreiben.
Ich bin genau so wenig Lehrbeauftragter, wie vermutlich du es bist. Daher ist es nicht unsere Entscheidung ob zuerst signifikante Stellen behandelt werden, oder eben die Exponentialschreibweise. Ich meine, es wird ein Thema wie "runden" behandelt, was meinst du in welcher Klasse ist das?!
Naja, "ganzheitlich" ist das Adjektiv von Ganzheit, welches wiederum ein Abstrakta des Adjektives ganz ist... Wenn es für dich verständlicher klingt, dann nennen wir es halt "ganze", oder "komplette Zahl"
Ich versteh nicht warum sie erforderlich sein sollte. Runde ich 4 signifikante Stellen entscheidet das doch nicht über die Schreibweise. Ich kann ja auch jederzeit umformen ohne einen mathematischen Fehler zu begehen.
12340 ist schließlich gleich 1,234 * 10^4 oder 12340000 * 10^-3. Ändert nichts daran dass 1234 die signifikanten Stellen sind!
Nein, das ist eben falsch!
Zähle von links, die erste Ziffer von links, die ungleich Null ist, ist die erste gültige Ziffer. Jede folgende Ziffer, auch wenn sie Null ist, ist eine gültige (signifikante) Ziffer!
12340000 • 10⁻³ hat 8 gültige (signifikante) Ziffern !
Am Beispiel aus der Fragestellung:
10280 hat 5 signifikante Ziffer und ist der gerundete Wert für eine Zahl, die zwischen 10279,5 und 10280,4 liegt
10278,714 liegt außerhalb dieses Wertebereiches.
Schreib die Zahl in der Wissenschaftlichen Notation und runde die Mantisse auf 4 Stellen. Dann "wandelst" du wieder in die übliche Dezmaldarstellung um:
0.45678646 = 4.5678646E-1; gerundet 4.568E-1 = 0.4568
Ergänzung zur richtigen Antwort von @PhotonX
Die Ziffern werden von links gezählt und die erste Ziffer ungleich 0 ist die erste gültige. Also hat 10280 fünf gültige Ziffern und ihr wahrer Wert liegt zwischen 10280,49 und 10279,50
Der ungerundete Wert 10278,714 liegt nicht in diesen Grenzen!
Deshalb ist die korrekte Schreibweise 1,028 • 10⁴ (oder auch 1,028e+04)
Die ersten beiden sind definitiv richtig. Bei der letzten bin ich selbst verwirrt. ;) Als Physiker hätte ich jetzt geschrieben 1,028 * 10^4
Wie du auch bei Wikipedia siehst, ist im letzten Beispiel nicht wohldefiniert, ob die letzte Null zu den signifikanten Stellen zählt oder nicht: https://de.wikipedia.org/wiki/Signifikante_Stellen#Signifikante_Stellen_einer_Zahl_ohne_Nachkommastellen
Wie würdest du denn 123 456 789 auf 3 signifikante Stellen runden?
123 000 000 oder? Also 1,23 * 10^8
Ja genau, 1,23*10^8. 123 000 000 ist irgendwie... seltsam. Vielleicht kennt sich da wer besser aus. :)
Es ginge auch 123 • 10⁶
Das ist die technische Schreibweise, bei der der Exponent ein Vielfaches von 3 ist und in Verbindung mit einer Einhei durch ein Vorsatz ersetzt werden kann.
Beispiele:
123 • 10⁶ W = 123 MW
123 • 10⁻⁶ F = 123 µF
https://de.wikipedia.org/wiki/Vors%C3%A4tze_f%C3%BCr_Ma%C3%9Feinheiten#SI-Pr%C3%A4fixe
Die zweite Zahl hat bei dir sogar acht Stellen, hat aber 4 signifikante Stellen, also richtig
Ich weiß zwar, was vier Stellen sind, aber was sind signifikante Stellen?
Nun ja: man muss ja hier nicht antworten, wenn man von etwas keine Ahnung hat. Und wenn man es doch tut, kann man sich zumindest vorher schlau machen.
Was signifikante Stellen sind, ist ja kein Geheimnis.
Du hast bei der ersten Zahl auf fünf Stellen gerundet.
Die zweite Zahl hat bei dir sogar acht Stellen.
Ja, aber beide haben eben nur 4 signifikante Stellen.
Regel: Wenn du auf vier Stellen rundest, entscheidet die fünfte Atelle, ob auf- oder abgerundet wird. Bei 5 wird aufgerundet.
Es ist aber eben nicht Rundung auf vier Stellen, sondern auf vier signifikante Stellen gefragt. Und selbst wenn: die von dir beschrieben Rundungsregeln sind zwar die bei weitem gängigsten, aber nicht die einzigen Möglichkeiten, zu runden.
Verstanden! Ich hatte noch versucht, meine Antwort zu löschen bzw. zu ändern, hat aber nicht geklappt.
"Da wir aber vor dem Komma keine Stellen "streichen" dürfen, ...."
Das ist richtig
"... füllen wir die Differenz mit Nullen auf, wodurch 10280 rauskommt"
und das ist falsch und bedeutet, dass man das Ergebnis nicht so schreiben darf, denn es wären 5 signifikante Stellen.
Die korrekte Schreibweise ist deshalb 1,028 • 10⁴ (evntl. auch 1,028e+04)