Wert der Wurzel ohne Taschenrechner?
Wie kommt man auf die zwei aufeinander folgenden natürlichen Zahlen, ohne Benutzung des Taschenrechners?
7 Antworten
Das kann man mit dem Heron-Verfahren berechnen: https://de.wikipedia.org/wiki/Heron-Verfahren
a = 100;
x(0) = 3; % Geschätzte Lösung
% Iterative methode für 4. Wurzel
x(n+1) = x(n) - (x(n)^4 - a) / (4 * x(n)^3)
x(1) = 3 - (3^4 - 100) / (4 * 3^3) =
= 3 - (81 - 100) / (108) =
= 3 + 19 / 108 = 3.175925 (gerundet)
x(2) = 3.175925 - (3.175925^4 - 100) / (4 * 3.175925^3) =
= 3.162365
usw. 3.16227766016838
Die 2. Wurzel aus 100 zu nehmen, vereinfacht das deutlich, denn das Heron-Verfahren für die weitere 2. Wurzel ist einfacher:
a = 10;
x(0) = 3;
x(n+1) = x(n) - (x(n)^2 - a) / (2 * x(n))
x(1) = 3 - (9 - 10) / (2 * 3) =
= 3 + 1/6 = 19/6
x(2) = 19/6 - (381 / 36 - 10) / (2 * 19/6) =
= 19/6 - (381/36 - 360/36) / (19/3) =
= 19/6 - (21/36) * (3/19) = 19/6 - 21/(12*19) =
= 3.07456140 (gerundet)
x(3) = puh: das wird ohne Taschenrechnet anstrengend
aber möglich...
=
. 4-Wurzel(100) = Wurzel(10)
3*3 = 9; 4*4 = 16
Daher liegt die Wurzel zwischen 3 und 4.
Das ist die 2. Wurzel
Wurde es wieder mal Zeit für einen unqualifizierten Kommentar?
die 4. Wurzel aus 100 liegt zwischen 3 und 4. So wie ich es schrieb und so wie ich es begründet habe.
Wenn du es nicht verstehst, tut mir das leid für dich,, aber halte dich doch dann bitte ein wenig zurück mit deiner Unwissenheit. Danke!
Danke,aber was ist, wenn der Wurzelexponent ungerade ist, also z. B. Die 3.Wurzel von 120?
3,3333333333333333333 ist die 4 Wurzel
Die Wurzel aus einer natürlichen Zahl ist entweder eine natürliche Zahl oder irrational, aber nie ein rationale Zahl wie 3,3 (periode). Demzufolge ist das falsch.
3^4 = 81; 4^4 = 264
4.Wurzel heißt zweimal die "normale" Wurzel ziehen, d. h. erst Wurzel(100) ausrechnen, dann daraus die Wurzel...
Und wie macht man das, wenn der Wurzelexponent ungerade ist, also z. B. Die 3.Wurzel von 120?
Hier würde ich erst einmal testen, ob man die 120 so zerlegen kann (in ihre Primfaktoren), dass man zumindest von einem Teil die 3. Wurzel ziehen kann.
120 wäre zerlegt: 2 * 2 * 2 * 3 * 5 = 2³ * 15
die 3.Wurzel von 2³ ist 2, also hättest Du schon einmal 2 * 3.Wurzel(15).
Jetzt kann man, um an die 3. Wurzel(15) zu kommen, leicht testen: 2 * 2 * 2 = 8; 3 * 3 * 3 = 27 , also liegt die 3.Wurzel schon einmal zwischen 2 * 2 = 4 und 2 * 3 = 6; jetzt noch die 5 prüfen: 5 * 5 * 5 = 125, also liegt 3.Wurzel(120) zwischen 4 und 5.
Wenn der Exponent ungerade und (wie 3) noch dazu eine Primzahl ist, funktioniert diese Zerlegung natürlich nicht. Dann mußt du wie es in einigen Antworten bereits beschrieben steht halt direkt in die Intervallschachtelung gehen, d.h. 4^3 = 64, 5^3 = 125. Man sieht noch dass 125 deutlich näher an 120 liegt als 64, d.h. das Ergebnis dürfte nahe an der 5 liegen (und mit dem Taschenrechner ergibt sich tatsächlich 4,9324...).
Wieso schreibst Du, diese Zerlegung funktioniere nicht, wenn der Exponent ungerade bzw. eine Primzahl ist? Ich habe es doch gemacht...;
Beispiel: 3.Wurzel(216)=3.Wurzel(2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3) = 3.Wurzel(2³ * 3³)= 2 * 3 = 6
es geht natürlich nicht, wenn man nach der Zerlegung nicht ausreichend gleiche Faktoren hat um zumindest davon die Wurzel ziehen zu können.
Klar kann man bei solch kleinen Zahlen wie 120 mal eben kleine Zahlen testen; bei größeren Zahlen bzw. "höheren" Wurzeln wirds etwas schwieriger mit testen! Allerdings natürlich auch mit dem Zerlegen ohne Hilfsmittel (z. B. 5. Wurzel(54432)).
Letztendlich gehts um die Vorgehensweise bei solchen Aufgabenstellungen, und wie man Wurzeln evtl. vereinfacht.
Das ist die 2. Wurzel