Welche Richtung hat der Vektor der aus dem Vektorprodukt hervorgeht?
Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit dem Vektorprodukt. In meinem Buch steht das der neue Vektor senkrecht auf den beiden Vorgänger Vektoren steht, aber in welche Richtung. Des weiteren steht dort das die Vektoren ein Rechtssystem bilden müssen. Ich hab mir jetzt schon mehrere Definitionen eines Rechtssystems durchgelesen nur ich versteh nicht wie daraus eine Richtung hervorgeht. Ich mein mit der 3 Finger Regel hat der Vektor ja immer schon eine vorgegeben Richtung. Also in welcher Richtung ist der Vektor dann positiv und in welcher negativ und warum?
Vielen Dank für alle antworten.
8 Antworten
Hallo okarin
deine Frage ist längst nicht so dumm, wie einige hier wohl glauben mögen !
In Tat und Wahrheit ist es so, dass wir eigentlich stets schon ein gewisses "Rechtssystem" als vorgegeben voraussetzen müssen, um definieren können, wie nun die drei Grundvektoren eines beliebigen Rechtssystems relativ zueinander gerichtet sein müssen, beispielsweise drei Vektoren a, b und c mit zwei nicht kollinearen Vektoren a und b im \IR^3 und c = a x b .
Meist verwendet man dazu als "Modell" drei in bestimmter Weise ausgestreckte Finger der rechten Hand. So ein Vorgehen ist eigentlich für die Geometrie ziemlich sonderbar. Eine Möglichkeit, rein aus der analytischen Geometrie heraus zu definieren, ob 3 zahlenmäßig vorgegebene Vektoren nun ein Rechtssystem bilden, gibt es nämlich grundsätzlich nicht.
Einen ganz analogen Fall gibt es im Bereich der komplexen Zahlen:
So bleiben z.B. alle wahren Aussagen über komplexe Zahlen wahr, wenn man konsequent die "imaginäre Einheit" i durch -i ersetzt. Auch da geht es eigentlich um eine grundsätzliche Ununterscheidbarkeit von "links" und "rechts" aus der reinen mathematischen Theorie heraus.
Der Vektor a x b steht senkrecht auf der von a und b aufgespannten Ebene. Je nachdem welches Kreuzprodukt du betrachtest (a x b oder b x a) geht der Vektor entweder in die eine Richtung senkrecht oder in die entgegengesetzte.
LG
Male dir die beiden Vektoren a und b auf Papier. a und b liegen jetzt in der Zeichenebene und sollen denselben Anfangspunkt haben. Drehe nun in Gedanken eine Schraube von a in Richtung b, und zwar in Richtung des kürzeren Winkels. Die Richtung, in die du die Schraube (parallel zur Schraubenlänge) bewegst (also nach oben oder unten) ist nun die Richtung des Ergebnisvektors c = a X b.
Als Schraube wird hier die so genannte Rechtsschraube vorausgesetzt, also eine Schraube, die man in Uhrzeigerrichtung reindreht und gegen Uhrzeigerrichtung rausdreht.
Ein Beispiel: 2 Buntstifte seien deine Vektoren. Der rote hat die Uhrzeigerstellung 3 Uhr, zeigt also mit der Spitze nach rechts. Der grüne zeigt in Richtung 12 Uhr, also mit der Spitze nach oben. Der rote sei a, der grüne sei b, a und b seien Vektoren. Das Vektorprodukt a x b ergibt einen Vektor, der senkrecht auf beiden steht. Man dreht jetzt den roten Stift in Gedanken zum grünen hin, also entgegen dem Uhrzeigersinn, da dies der kleinere Winkel ist. Die Schraube wird nach links gedreht und die Spitze des Ergebnisvektors zeigt jetzt zu dir hin (falls du dich darüber beugst), senkrecht zum Tisch, auf dem die Buntstifte liegen.
Die Richtung eines Vektors kann nicht positiv oder negativ sein.
Nur einzelne x-y-z-Komponenten des Vektors können pos. oder neg. sein.
Die "Richtung" des Resultatvektors hängt nur von der Lage der Ausgangsvektoren im Raum ab.
Aus dem Rechtssystem geht somit auch keine vorzeichenbehaftete Richtung bezüglich des Koordinatensystems hervor, wie du dir das vielleicht vorstellst.
Erster Vektor, zweiter Vektor und Vektroprodukt-Vektor bilden immer ein Rechtssystem.
1=Daumen, 2=Zeigefinger, Resultat=Mittelfinger.
Reihenfolge der Vektorspitzen dreht von oben gesehen nach rechts, im Uhrzeigersinn.
Rechtssystem anders veranschaulicht:
- Lass die drei Vektoren im gleichen Punkt beginnen.
- Dieser Punkt ist die Spitze einer Pyramide
- Blicke von dieser Spitze her auf die Pyramide
- Die Enden dieser drei Vektoren zeigen so auf Punkte, die sich im Uhrzeigersinn anordnen, also nach rechts "drehen".
Es ist nicht sinnvoll, bei Vektoren ein Vorzeichen zu definieren. Vektoren haben eine Richtung und eine Länge; die Länge ist immer nicht-negativ und die Richtung kann auch einer vorgegebenen Richtung entgegegengesetzt sein, aber keine Richtung ist vor der anderen ausgezeichnet.
(Bei Zahlen ist es so, dass die positive Richtung z. B. dadurch ausgezeichnet ist, dass die Teilmenge der positiven Zahlen "unter dem Produkt abgeschlossen" ist und die der negativen Zahlen nicht, d. h. das Produkt zweier positiver Zahlen ist wieder eine positive Zahl, hat also dasselbe Vorzeichen wie die Faktoren, während das Produkt zweier negativer Zahlen positiv ist, also das andere Vorzeichen hat.)
Bei der 3-Finger-Regel zeigen die Finger einfach in die Richtungen der Vektoren, um Vorzeichen braucht (und sollte) man sich da keine Gedanken machen.
Ok, eindimensionaler Fall ausgenommen. (Cum grano salis.)
Multiplikation von Vektor und Skalar.
Ein Produkt positiver Faktoren sollte wieder positiv sein - das Kreuzprodukt ist aber eine Lie-Algebra, d. h. es gilt die entsprechende Jacobi-Identität: (a×b)×c + (b×c)×a + (c×a)×b = 0
Die Jacobi Identität ist mir geläufig, aber wie soll das hier weiterhelfen?
Wenn ich von zwei Vektoren das Kreuzprodukt bilde a und b:
axb = Eijk*ai*bj*ek
Der neue Vektor Eijk*ai*bj*ek steht senkrecht auf a und b und hat eine ausgezeichnete Richtung.
Mehr weiß ich von diesem Vektor nicht, isnbesondere kann ich nichts konkretes über seine Richtung aussagen.
Erst wenn ich a und b festlege und somit definiere welche Richtung als positiv und welche als negativ zu verstehen ist, kann ich konkrete Aussagen über die Richtung des Kreuzproduktes treffen.
Ähm doch... Ist sogar essenziell
Wenn ich z.b. sage, dass in 1D Fall die Richtung nach Rechts enlang der X-Achse als positiv zu verstehen ist, dann ist zwangsläufig die Richtung nach links negativ.
Beispiel aus 2D:
r = (1;1)
Das ist also ein Vektor, der vom Ursprung zum Punkt (x=1 | y=1) zeigt
Betrachtet man jezt -r so ergibt sich der Vektor zu r=(-1;-1)
-r ist Also der am Ursprung gespiegelte Vektor r.
usw.
Das ist auch nicht richtig.
Die 3-Finger-Regel nimmt man gerade weil das Vorzeichen implizit wichtig ist. Ohne diese Regel wüsste man eben nicht ob das kreuzprodukt zweier Vektoren positiv oder negativ definiert ist.
Die Drei-Finger-Regel legt das Vorzeichen nicht fest- das macht man von vornerein, in dem man z.b. "links" und "unten" als negativ und "rechts" und "oben" als positiv festlegt.
Die Drei-Finger-Regel liefert dann sehr wohl ein Vorzeichen.
Ohne dieser oder ähnlicher Zuodrnung ("links" und "unten" als negativ und "rechts" und "oben" als posit) und damit ohne ein Vorzeichen, würde die ganze Rechnung kein Sinn machen, weil der Bezug fehlen würde.