Vektorprodukt von zwei normierten Vektoren?
Hallo, ist es immer so, dass wenn man das Vektorprodukt von zwei nomierten Vektoren nimmt auch als Resultat ein normiertes Vektor rausbekommt, welches senkrecht auf diesen beiden Vektoren steht?
3 Antworten
siehe Mathe-Formelbuch,was du privat in jedem Buchladen bekommst.
Kapitel,Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
a kreuz b=c
c(cx/cy/cz) ist ein vektor,der senkrecht auf den beiden Vektoren a(ax/ay/az) und b(bx/by/bz) steht.
Skalarprodukt
1) ax*cx+ay*cy+az*cz=0
2) bx*cx+by*cy+bz*cz=0
gilt also auch für normierte Vektoren ao kreuz bo=c
allerdings ist dann der Betrag vom Vektor c(cx/cy/cz) ungleich 1
Beispiel: a(1/2/3) und b(-2/1/4)
(a)=Wurzel(1²+2²+3²)=3,7416..
ao=1/3,7416+2/3,7416+3/3,7416=0,267..+0,5345..+0,8017 ergibt (ao)=1
(bo)=Wurzel((-2)²+1²+4²)=4,5825..
bo=-2/4,5825+1/4,5825+4/4,5825=-0,4364+0,2182+0,8728
ao kreuz bo=c=0,2915-0,5829+0,2915 ergibt (c)=Wurzel(.....)=0,7139 ungleich 1
Habe ich mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) ermittelt.
Senkrecht stehen ja, normiert nein.
Beispiel: (1,0,0) und (1,0,0) (ja, zwei identische Vektoren). Das Vektorprodukt aus beiden ist (0,0,0). Das ist kein Normalenvektor.
Es stimmt aber, wenn du zwei orthonormale Vektoren hast, dass das Vektorprodukt dann ebenfalls orthonormal zu beiden ist.
Nein. Das Vektorprodukt zweier normierter Vektoren ist im Allgemeinen nicht normiert.
Beispiel:
Bedenke:
Wenn man zwei Vektoren v und w hat und φ der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist, so erhält man für den Betrag bzw. die (euklidische) Norm des Vektorprodukts v × w ...
||v × w|| = ||v|| ⋅ ||w|| ⋅ sin(φ)
Wenn nun v und w normierte Vektoren sind, also ||v|| = ||w|| = 1 ist, so ist ...
||v × w|| = sin(φ)
In solch einem Fall ist also das Vektorprodukt v × w genau dann normiert, wenn sin(φ) = 1 ist.
Allerdings stimmt es, dass das Vektorprodukt immer orthogonal zu den beiden Vektoren ist (d.h. senkrecht auf den beiden Vektoren steht).
Und wenn die beiden Vektoren nicht nur normiert sind, sondern auch orthogonal zueinander sind, so ist das Vektorprodukt der beiden Vektoren auch wieder normiert.