Was sind potenzmengen?
Ich checks nidcht was ist der Unterschied von potenzmengen zu teilmengen?
4 Antworten
Teilmenge ist irgendeine Untermenge.
Potenzmenge ist eine einzige Menge, die Menge aller Untermengen.
Wenn du z.B. {a,b,c} als Menge hast, sind folgende Untermengen vorhanden:
{a}, {b}, {c}
{ab}, {ac}, {bc}
{abc}
Soweit ist es klar. Es zählt aber auch bei jeder Potenzmenge die leere Menge mit, weil sie laut Definition Bestandteil jeder Menge ist, dazu also noch
{ }
Wenn du die mal durchzählst, hast du 8 Untermengen.
8 = 2³ die 3 ist genau die Zahl der Elemente.
Da man in der Mengenlehre auch wieder gerne besondere Namen vergibt, nennt man 3 die Mächtigkeit der Menge.
(Der Begriff Mächtigkeit hat den Vorteil, auch mit unendlichen Mengen arbeiten zu können, wo man ja keine Anzahl mehr angeben kann.)
So gesehen ist die Mächtigkleit der Potenzmenge genau
2 potenziert mit der Mächtigkeit der betrachteten Menge.
Hallo,
nehmen wir mal ein Beispiel.
Sei M folgende Menge: M = {1; 3; 7}.
M besteht also aus den drei natürlichen Zahlen 1, 3 und 7.
Eine mögliche Teilmenge von M wäre z.B. die Menge N = {1; 7}
Die Potenzmenge von M, also P(M), ist folgende Menge:
P(M) = {∅; {1}; {3}; {7}; {1; 3}; {1; 7}; {3; 7}; {1; 3; 7} }, oder
P(M) = {∅; {1}; {3}; {7}; {1; 3}; {1; 7}; {3; 7}; M }
An dem Beispiel sieht man Folgendes:
Die Elemente von N sind auch Elemente von M.
Die Elemente von P(M) sind Teilmengen von M.
P(M) besteht aus allen Teilmengen, die es von M gibt.
Es gilt folgende Aussage: N ∈ P(M).
Das ist die Kurzschreibweise für "N ist eine Teilmenge von M", oder für
"N ist ein Element der Potenzmenge von M", oder für
"N ist ein Element von P(M)".
"N ⊂ M" und "N ∈ P(M)" bedeuten also das Gleiche.
Die Elemente von N und die Elemente von P(M) sind unterschiedliche mathematische Objekte.
Die Elemente von N sind (bestimmte) natürliche Zahlen.
Die Elemente von P(M) sind (bestimmte) Teilmengen natürlicher Zahlen.
Ich hoffe, ich habe dich nicht verwirrt.
Das alles ist "nur" mathematisches Vokabular, aber man sollte sich klarmachen, was genau die Vobabeln bedeuten, und genau das tust du gerade.
Deine Frage ist berechtigt und sie wird auch anderen helfen.
Gruß
"Als Potenzmenge bezeichnet man in der Mengenlehre die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Grundmenge."
Die Potenzmenge enthält alle möglichen Teilmengen, ganz einfach.