Was sind die Zwischenschritte bei der folgenden Ableitung?
Hallo liebe Community, ich benötige Unterstützung bei der folgenden Ableitung. Mir fällt es vor allem schwer, die Zwischenschritte nachzuvollziehen. Ich würde mich über eine ausführliche Herleitung mit den entsprechenden Regeln etc. freuen.
1 Antwort
Hallo,
die erste Zeile kann ich Dir erklären.
Ersetze mal den Bruch einfach durch a und den Term, der mit exp (... anfängt, mit
e^(-bi). -bi ist also alles, was in der Klammer hinter exp steht.
i ist einfach ein Index, der von 1 an bis n durchgezählt wird.
Am Anfang hast Du ja ein Produkt nach dem Schema
log ((a*e^-b1)*(a*e^-b2)*...*(a*e^-bn)).
Nach der Regel log (a*b)=log (a)+log (b), kannst Du dieses Produkt in eine Summe umwandeln: log (a*e^-b1)+log (a*e^-b2)+...+log (a*e^-bn).
Das wird einfach durch ein Summenzeichen ausgedrückt:
SUMME (i=1 bis n) über log (a*e^-bi).
Nun wird das Produkt, das jetzt noch hinter dem Summenzeichen steht, ebenfalls in eine Summe umgewandelt.
Aus log (a*e^-bi) wird log (a)+log (e^-bi).
Mit log ist hier der natürliche Logarithmus gemeint, dessen Basis e ist. Auf dem Taschenrechner wird er mit ln abgekürzt.
Da e die Basis des Logarithmus ist, ist log (e^-bi)=-bi.
So bekommst Du hinter dem Summenzeichen die Differenz log (a)-bi.
Diese Differenz wird nun durch das Summenzeichen zu
log (a)-b1+log (a)-b2+...+log (a)-bn aufsummiert.
Wenn Du a durch den Bruch mit der 1 im Zähler und dem sigma und der Wurzel im Nenner ersetzt und -bi durch den Term, der in der Klammer hinter exp steht, hast Du die Summe, die in der ersten Zeile hinter dem Gleichheitszeichen steht.
Bei komplizierten Termen hilft es oft, sie einfach mal durch irgendeinen Buchstaben zu ersetzen, um die Sache übersichtlicher zu machen und das Schema dahinter zu erkennen.
Herzliche Grüße,
Willy
Die Umwandlung in der zweiten Zeile ist noch einfacher zu erklären.
Du hast die SUMME (i=1 bis n) über xi-µ.
Ausgeschrieben ergibt das x1-µ+x2-µ+...+xn-µ.
In jeder Differenz, die da aufsummiert wird, taucht µ auf.
Anstatt µ jedesmal neu abzuziehen, kannst Du auch von der Summe x1+x2+...xn das µ n-mal abziehen, wobei µ dann nicht mehr unter das Summenzeichen gehört, sondern von der Gesamtsumme abgezogen wird.
Anstatt es in der Summe zu lassen, ziehst Du es einfach n-mal von der Summe über xi ab. Beachte, daß ganz rechts keine Klammer um xi-nµ steht.
Das bedeutet: Das Summenzeichen bezieht sich nur noch auf xi, nicht auf nµ.
Davor gehörte auch das µ zur Summe und wurde jedesmal einzeln abgezogen.