Ableitung, Steigung und Nustellentangente von f(x)=3*2^x-1?
Hallo,
ich bräuchte Hilfe bei folgender Matheaufgabe:
Gegeben ist die Funktion f(x)=32^x-1
a) Bestimmen Sie die Ableitung von f‘
Lösung: 32^xln2
b) wo hat die Funktion f die Steigung 1?
c) wie lautet die Gleichung der Nullstellentangente t an den Graphen von f?
d) wie verhält sich f für x-> unendlich
Ich wäre für ausführliche Erklärungen sehr dankbar, in der Hoffnung, dass ich es dann verstehe
Danke im voraus
3 Antworten
Neben den anderen inhaltlichen Antworten moechte ich Dir ein paar allgemeinene Hinweise geben und diese "guten Ratschlaege" auch etwas naeher erlaeutern:
Nachvollziehen: Das Ueben in Mathematik kann tueckisch sein, weil man sich leicht selbst taeuschen kann. Wenn Du hier eine gute Antwort wie z.B. von @Rhenane liest und diese Dir plausibel vorkommt, dann hast Du vielleicht das Gefuehl, die Aufgabe verstanden zu haben.
Diese Art von Verstehen wuerde ich - um Unklarheiten zu vermeiden - jetzt mal mit "Nachvollzieh-Verstehen" bezeichnen. Das ist auch nicht schlecht, aber etwas voellig anderes als das, wofuer Du so eine Aufgabe bekommst:
Die Alternative: "Mathematik-Verstehen" wuerdest Du die Aufgabe, wenn Du sie selbst loesen wuerdest. Das bedeutet nicht, dass Du sie ohne Hilfsmittel loesen sollst, sondern dass Du nur allgemeine Hilfsmittel wie Deinen Heftaufschrieb, das Schulbuch, Beispiele auf YouTube oder Wikipedia-Artikel verwendst und den letzten Schritt, naemlich das Uebertragen auf eine konkrete Aufgabe, selbst durchfuehrst. Du darfst Dir so viele Informationen und Beispiele zum Ableiten angucken wie Du willst, aber Deine konkrete Funktion f(x) = 3 * 2^x - 1 musst Du selbst ableiten.
Vielleicht fragst Du Dich, warum letzteres so viel besser sein soll, wenn man Ende doch dieselbe Loesung erhaelt. Das wird meiner Meinung nach viel zu selten im Mathematik-Unterricht betont: Es geht nicht um die Loesung, sondern um die Verknuepfungen, die sich waehrend der Bearbeitung der Aufgabe in Deinem Gehirn ausbilden. Diesen Schritt kann man Dir logischerweise nicht abnehmen. In Pruefungen erhaelt man zwar Punkte fuer Loesungen, aber um mittel- und langfristig in Mathematik "dabei zu bleiben", ist eben genau das erforderlich, was Pruefungen meist nicht messen: "Mathematik-Verstehen".
Zeit & Training: Du wirst schnell feststellen, dass - vor allem am Anfang - das "Mathematik-Verstehen" deutlich laenger braucht als das "Nachvollzieh-Verstehen". Das koennte den Eindruck erzeugen, dass Du es prinzipiell nicht koenntest. Es ist aber wie z.B. auch im Sport: Ohne geeignetes Training wirst Du keinen 10km-Lauf hinbekommen. Das laege aber nicht daran, dass Du es prinzipiell nicht koenntest, sondern eben am Mangel geeigneten Trainings. In obigem Sinnbild wuerdest Du "Nachvollzieh-Training" machen, wenn Du einfach gehen wuerdest anstatt zu joggen (oder sogar einfach den Bus nimmst).
Meine Vermutung: Ich kenne Deinen konkreten Fall natuerlich nicht, aber Deinem Profil nach zu urteilen verlaesst Du Dich haeufig auf das "Nachvollzieh-Verstehen"; Deine Fragen lassen mich auf fehlendes "Mathematik-Verstehen" (z.B. hinsichtlich Potenzen oder auch Ableitungen) schliessen.
Folgen in der Praxis: Es ist klar, dass man manchmal nicht die Zeit und schon gar nicht die Motivation hat, fuer jedes Fach vorbildlich zu lernen. Ich will diesen Hinweis absolut nicht als Vorwurf verstanden wissen! Meiner Meinung nach sollte man Dir (bei aller fachlichen Hilfe) nicht verschweigen, dass Dich das "Nachvollzieh-Verstehen" in die Situation bringt, dass Du mit der Zeit immer mehr lernen musst, um ein mittelmaessiges Leistungs/Noten-Niveau zu halten.
Die Entscheidung: Mit diesem Wissen kannst Du die Entscheidung fuer oder gegen den "Nachvollzieh-Ansatz" bewusst treffen und wirst Dich nicht eines Tages wundern, warum es manchen "zufliegt" und Du Dich so abmuehen musst. Letztlich ist die Frage, wann Du wofuer wie viel Zeit aufwenden willst.
Kleiner Tipp, denn du siehst es ja in deinem Text.
Setz immer zwischen ein Zeichen und einen * ein Leerzeichen: 3 * 2^x, sonst passiert gerne mal, was du da oben siehst! Der Editor interpretiert, wie er es früher immer getan hat, den Stern als Aufforderung, kursiv zu schreiben und das Zeichen selbst zu verschlucken. Aus 3 * 2 ist 32 geworden.
Ohne die Überschrift würdest du lauter falsche Antworten bekommen, vielleicht auch jetzt, wenn den Antwortern die Diskrepanz nicht auffällt!
a) Die Ableitung von a^x ist ln(a)*a^x. Entweder man weiß das, oder man formt das etwas um; dann muss man allerdings auch wissen, dass die Ableitung von e^x wieder e^x ist (mal der inneren Ableitung!). Die Umformung macht man, indem man um die Potenz e^ln "baut". e^ln hebt sich gegenseitig auf (wie z. B. Wurzel aus Quadrat), ist aber für das Ableiten unter Nutzung der Logarithmenregeln nützlich.
f(x)=3*2^x-1 = 3*e^ln(2^x)-1 = 3*e^(xln(2))-1
=> f'(x)=3 * e^(xln(2)) * ln(2) = 3 * e^ln(2^x) * ln(2) = 3 * 2^x * ln(2)
b) Die Steigung wird durch die erste Ableitung angegeben, also: f'(x)=1
<=> 3*ln(2)*2^x=1 |:3 |:ln(2)
2^x=1/(3ln(2)) |ln [Potenzen kannst Du durch logarithmieren auflösen]
ln(2^x) = ln(1/(3ln(2))
xln(2) = ln(1/(3ln(2)) |:ln(2)
x = ln(1/(3ln(2))/ln(2)
Das nur noch ausrechnen.
c) zuerst f(x)=0 ausrechnen und somit die Nullstelle x0 ermitteln
dann f'(x0) ausrechnen, damit Du die Steigung der Tangente hast, dann diese Nullstelle samt der Steigung in die Geradengleichung g(x)=mx+b einsetzen und das b ausrechnen
d) einfach hohe Werte für x einsetzen und Du siehst, dass f(x) immer größer wird.
für x->minus-unendlich wird das 2^x immer kleiner: bei negativen Exponenten kannst Du die Potenz ja mit positivem Exponenten in den Nenner schreiben, somit wird z. B. aus 2^-(1000) dann 1/2^1000, d. h. der Bruch strebt gegen Null. Somit bleibt für x->minus-unendlich letztendlich der konstante Summand -1 übrig.