erste Ableitung einer Gewinnfunktion?

Hallo, ich benötige bitte einmal einen Denkanstoß beim Thema Optimierung mit Differtialrechnungen, sprich Gewinnfunktionen und Gewinnmaximierung. Ich hoffe es legt mir niemand als "Hausaufgabenerledigung" aus, aber ich komme nicht weiter, sobald es um die 1. Ableitung geht.

Folgende Angaben: Zwei Firmen die ein Produkt herstellen, ich schreibe hier mal nur die der ersten Firma hin, denn wenn ich hier weiter komme kann ich die zweite selbst.

Preis(Absatz) = 10.000 -30*Absatz

Kosten fix = 400.000

Kosten variabel = 20*Absatz

Aufstellung der Gewinnformel:

Gewinn = Preis(Absatz) * Absatz1 - Kosten variabel * Absatz 1 - Kosten fix

Gewinn = (10.000-30 * Absatz1+Absatz2) * Absatz1 - 20 * Absatz1 - 400.000

Die Lösung der ersten Ableitung ist: (habe ich der mir vorliegenden Lösung entnommen) dG1/dA1 = -60A1 - 30A2 + 9980 = 0

1. Frage: Kann mir jemand die Schritt von der Gewinnfunktion zur 1. Ableitung kurz aufzeigen? Ich komme einfach nicht drauf.
2. Warum wird in die Preis-Absatz Funktion bei Bildung der gesamten Gewinnfunktion Absatz 1 und Absatz 2 mit hereingenommen?

Vielen Herzlichen Dank für die Hilfe

Answer 1

[Schachpapa]

Gruselige Schreibweise, steht die so in deinem Lehrbuch/Skript?

Im Wirtschaftsgymnasium würden wir das so schreiben (x = Absatz)

p(x) = 10000-30x
E(x) = p(x) * x = -30 x^2 + 10000x       
K(x) = 400000 + 20x

G(x) = E(x) - K(x)
= -30x^2 + 10000x - 400000 - 20 x
= -30x^2 +9980 x - 400000

G'(x) = -60x + 9980

Ich weiß jetzt nicht, woher du die Größe Absatz2 nimmst, muss wohl irgendwo in der Aufgabe stehen. Aber, in der einen Zeile fehlt mindestens ein Klammerpaar, sonst passen weder die Einheiten noch die Ableitung:

Gewinn = (10.000-30 * (Absatz1+Absatz2)) * Absatz1 - 20 * Absatz1 - 400.000

(Absatz1+Absatz2) in Klammern!

Das wäre ausmultipliziert:

G = 10000A1 - 30A1^2 -30A2A1 - 20A1 - 400000
    = -30 A1^2 + 9980 A1 - 30A2A1 - 400000

G' = -60 A1 + 9980 - 30A2   (G' ist G abgeleitet nach A1, da wird A2 wie eine Konstante behandelt)

Während ich dies schreibe:

Die Preis-Absatz-Funktion bezieht sich auf den Gesamtabsatz, d.h. wenn Firma2 viel absetzt, sinkt dadurch auch der Preis, es ist also kein Monopol und auch noch kein Polypol, sondern nur genau zwei Firmen (wie du ja auch eingangs geschrieben hast). Deshalb wird Absatz2 mit in die Preisfunktion genommen.

Ist jetzt ein wenig von Mathematik-Seite hinein interpretiert, bin kein BWLer. Hoffe, es hilft trotzdem.