Was sind die Extrempunkte und Wendestellen von f(x)= -x^3+2x^2+11x-12?

Bitte mit Rechenweg.

Answer 1

[mihisu]

$f(x)=-x^3+2x^2+11x-12$

$f'(x)=-3x^2+4x+11$

$f''(x)=-6x+4$

$f'''(x)=-6$

====== Berechnung der Extrempunkte ======

$f'(x)=0$

$\Leftrightarrow\quad -3x^2+4x+11=0$

$\Leftrightarrow\quad x=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot 11}}{2\cdot \left(-3\right)}$

$\Leftrightarrow\quad x=\frac{-4\pm \sqrt{16+132}}{-6}$

$\Leftrightarrow\quad x=\frac{-4\pm \sqrt{148}}{-6}$

$\Leftrightarrow\quad x=\frac{-4\pm 2\cdot \sqrt{37}}{-6}$

$\Leftrightarrow\quad x=\frac{2\mp\sqrt{37}}{3}$

$\Leftrightarrow\quad x=\frac{2-\sqrt{37}}{3}\approx -1\text{,}36\ \vee\ x=\frac{2+\sqrt{37}}{3}\approx 2\text{,}69$

Der Graph von f′ ist offensichtlich eine nach unten geöffnete Parabel. [Denn der Öffnungsfaktor -3 ist negativ.] An der Stelle x₁ = (2 - √(37))/3 wechselt demnach f′ von negativen zu positiven Werten, sodass f dort einen Tiefpunkt hat. An der Stelle x₂ = (2 + √(37))/3 wechselt f′ dann von positiven zu negativen Werten, sodass f dort einen Hochpunkt hat.

$y_1=f\left(\frac{2-\sqrt{37}}{3}\right)=-\left(\frac{2-\sqrt{37}}{3}\right)^3+2\cdot \left(\frac{2-\sqrt{37}}{3}\right)^2+11\cdot \frac{2-\sqrt{37}}{3} - 12$ $=\frac{-110-74\sqrt{37}}{27}\approx -20\text{,}75$

$y_2=f\left(\frac{2+\sqrt{37}}{3}\right)=-\left(\frac{2+\sqrt{37}}{3}\right)^3+2\cdot \left(\frac{2+\sqrt{37}}{3}\right)^2+11\cdot \frac{2+\sqrt{37}}{3} - 12$ $= \frac{-110+74\sqrt{37}}{27}\approx -12\text{,}60$

Ergebnis: Es gibt zwei Extrempunkte.

$\text{Tiefpunkt: }T\left(\frac{2-\sqrt{37}}{3}\middle|\frac{-110-74\sqrt{37}}{27}\right)$

$\text{Hochpunkt: }H\left(\frac{2+\sqrt{37}}{3}\middle|\frac{-110+74\sqrt{37}}{27}\right)$

====== Berechnung des Wendestelle ======

$f''(x)=0$

$\Leftrightarrow\quad -6x+4=0$

$\Leftrightarrow\quad -6x=-4$

$\Leftrightarrow\quad x=\frac{2}{3}$

Wegen f′′′(2/3) = -6 ≠ 0 handelt es sich bei 2/3 tatsächlich um eine Wendestelle.

Ergebnis: Es gibt eine Wendestelle bei x = 2/3.