Exponentialfunktion mit der Basis e darstellen?

Wird aus f(x)=5^x

f(x)=e^ln(5^x)
oder f(x)=e^ln(5)x

^ bedeutet hoch

Answer 1

[DrNumerus]

Die 5 kannst du mit der Exponentialfunktion darstellen als e^ln(5). Jetzt muss das alles noch als Basis einer Potenz mit Exponent x gesehen werden, also:

f(x) = 5^x = (e^ln(5))^x = e^(ln(5)*x) laut Potenzgesetze (potenzieren von Potenzen)

Da aber ln(5)*x = ln(5^x) ist, gilt auch f(x) = e^ln(5^x) ; immerhin würden sich die Exponentialfunktion und das ln(...) gegenseitig aufheben, wodurch nur noch 5^x dastehen würde.

Hoffe das hat geholfen ;)

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Physik Studium - Master in theoretischer Physik

Answer 2

[Applwind]

Beides ist durch das Logarithmusgesetz äquivalent.

Woher ich das weiß: Hobby – Schüler.

Comments

[Iknowit665]

Danke. Und wird aus f(x)=7^3x

f(x)=e^ln(7^3x)

[Applwind]

@Iknowit665

Ja, denn wie du weißt gilt ja f(f^(-1)(x)) = x.

[Iknowit665]

@Applwind

Wäre von meinem Beispiel dann die erste Ableitung

f‘(x)=ln(7)*3^x

[Applwind]

@Iknowit665

f'(x) = e^In(7^3x)*3In(7) = 7^3x * 3In(7)

Allgemein gilt:

f(x) = a^x

f'(x) = a^x * In(a)

oder bei dir

f(x) = a^(bx)

f'(x) = a^(bx) * In(a)*b

[Iknowit665]

@Applwind

Kannst du mir einmal mit der Kettenregel eins meiner Beispiele ableiten?

[Applwind]

@Iknowit665

f(x) = 5^x = e^In(5^x)) = e^(In(5)*x))

f'(x) = e^(In(5^x))*In(5) = 5^x*ln(5)