Was ist mathematisch gesehen der Hintergrund des Logarithmus?
Was ist mathematisch gesehen der Hintergrund des Logarithmus? Es ist klar, wenn ich von einem Term den Exponenten suche, bekomme ich diesen mit dem Logarithmus heraus. Aber wieso eigentlich? Was steckt dahinter, einfach erklärt, nicht so, wie auf Wikipedia, hochmathematisch?
Ihr könnt die Frage auch beantworten, indem ihr erklärt, wie ich den Logarithmus schriftlich berechnen kann, d.h. ohne den Taschenrechner. Gleichsam der schriftlichen Addition oder Multiplikation. Welche Schritte wären dazu nötig?
5 Antworten
Die mathematische Definition vom Logarithmus ist leider etwas ernüchternd. Man hat sich die Exponentialfunktion angeguckt und festgestellt: "Zu dieser Funktion muss es eine Umkehrfunktion geben! Wir wissen leider aber nicht, wie man die exakt berechnen kann, also geben wir der einfach einen Namen."
Und dieser Name ist eben der Logarithmus. D.h. auf die Frage, warum du mit dem Logarithmus den gesuchten Exponenten ermitteln kannst, muss man antworten: Weil der Logarithmus exakt so definiert ist.
Wie berechnet man den Logarithmus? Ganz naiv könnte man wie bei der Division rangehen: Wenn ich 50/5 ausrechnen will, kann ich prüfen, wie oft ich 5 von 50 abziehen kann, bis ich bei 0 ankomme.
Beim Logarithmus geht das im Prinzip ähnlich: Wenn ich Log_3(81) ausrechnen will, kann ich fragen, wie oft ich 81 durch 3 teilen kann, bis ich bei 1 ankomme:
81 / 3 = 27
27 / 3 = 9
9 / 3 = 3
3 / 3 = 1
Aha, viermal. Also Log_3(27) = 4 (oder auch 3^4 = 81).
Dieses Verfahren geht aber leider in den wenigsten Fällen gut. Z.B. bei Log_3(10):
10 / 3 = 3,3333....
3,33333.... / 3 = 1,1111....
1,1111.... / 3 = irgendwas, das unter 1 liegt.
D.h. ich muss 10 mehr als 2-mal durch 3 teilen, aber wenn ich es mindestens 3-mal durch 3 teile, bin ich schon zu weit. D.h. Log_3(10) muss irgendwo zwischen 2 und 3 liegen.
Rechner verwenden, wie Jangler13 erwähnt hat, approximative Verfahren zur Berechnung des Logarithmus. Diese sind aber mitnichten mit simpler Schulmathematik zu erklären. Einen ersten Einblick erhältst du zum Beispiel hier (die Näherungsverfahren beginnen ab Kapitel 2).
Ja, "teuer" im Sinne von "rechenintensiv". Ist ein Begriff, den man in der Informatik häufiger mal hört, wenn es um Laufzeitanalysen von Algorithmen geht.
Aus dem Blickwinkel der Anwendung:
Die Bedeutung des Logarithmus liegt in der Vereinfachung von Berechnungen. Man multipliziert, indem man Logarithmen addiert und man dividiert, indem man Logarithmen subtrahiert.
Rechenschieber - damit wurde früher bis in die 1970er Jahre gerechnet - besitzen logarithmische Einteilungen um Multiplikationen/Divisionen durch Verschieben von Skalen bzw. addieren/subtrahieren von Skalenlängen durchzuführen.
Ebenso wurden früher logarithmische Tabellenwerke genutzt, um auf einfache Weise die Logarithmen zu ermitteln.
Beides hat heute durch die Taschenrechner und Computer keine Bedeutung mehr. Dennoch gibt es Anwendungen für logarithmische Funktionen bzw. logarithmische Skalen in Naturwissenschaft und Technik, wenn z.B. Zahlenreihen stark wachsen.
Wie ist es (aus mathematischer Sicht) möglich, mit dem Logarithmus höhere Rechenarten in niedrigere Rechenarten umzuwandeln?
Man nutzt die Potenzgesetze:
x² * x³ = x^(2 + 3) = x⁵
Log. zur Basis x: 2 + 3 = 5
Umkehrung hoch x: x⁵
Der Sinn des Logarithmus ist tatsächlich die Umkehrung der Potenzrechnung im Hinblick auf den Exponenten.
Die Addition und Subtraktion wie auch die Multiplikation/Division kommen mit einer Umkehrung aus, da die Rechenarten auf dem Hinweg kommutativ sind.
a + b = b + a
a * b = b * a
Das gilt nicht für die Potenzrechnung.
a^b ≠ b^a
Um eine Basis zu finden, brauchst du die Wurzelrechnung.
Für den Exponenten benötigst du die Logarithmenrechnung.
Mindestens beim Umformen von Gleichungen kommst du ohne Umkehrrechnung nicht aus.
Beim Ermitteln der Zeit bei Verzinseszinsung wirst du dies dankbar erkennen.
(Umformung der Wachtstumsformel, um die Zeit zu ermitteln)
Dann musst du auch die 5 Logarithmengesetze unbedingt kennen!
Die Bedeutung des Logarithmus hängt davon ab, von welcher Richtung man das Konstrukt der Mathematik her aufbaut. Die meiner Meinung nach logischste ist von Aussagenlogik über Mengenlehre bis zur Konstruktion des Zahlensystems bzw. der bekannten Zahlenmengen.
Dort benötigt man den Logarithmus, um für zwei beliebige reelle Zahlen a, b die Potenz a^b zu definieren. Was soll a^b sein, wenn a und b irrational sind? Für rationale Exponenten ist das einfach: Die Gleichheit
führt die Potenz rationaler Zahlen auf Wurzelausdrücke zurück. Bei irrationalen Zahlen ist das nicht so einfach. Hierfür definiert man
und dafür benötigt man den Logarithmus für alle reellen Zahlen als Umkehrfunktion der (durch die Exponentialreihe definierten) Exponentialfunktion.
Ob dass dem Anspruch
Was steckt dahinter, einfach erklärt, nicht so, wie auf Wikipedia, hochmathematisch?
genügt :-)
Ich hab es zumindest versucht, möglichst grundlegend zu erklären ;-)
Das Verhältnis von a zu b als Definition des Logarithmus leuchtet schon ein, aber ich verstehe nicht, was das Verhältnis von rationalen Zahlen zu irrationalen Zahlen für eine Rolle spielt.
Überlege mal, wie du Potenzen wie 2^π formal definieren würdest. Was heißt es, eine Zahl hoch eine Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen zu nehmen?
Im Gegensatz dazu lassen sich Potenzen mit rationalem Exponenten durch einfache Wurzelausdrücke definieren.
Wieso der Logarithmus das macht?
Die Antwort ist einfach:
Weil der Logarithmus so definiert ist.
Wenn x und a positive reeelle Zahlen sind, dann ist der Logarithmus zur Basis a definiert als die reelle Zahl y, die die Gleichung x=a^y löst.
Es ist also kein Zufall, dass der Logarithmus das macht, es ist Absicht.
Was macht der Taschenrechner, wenn ich die log-Taste drücke, bzw., was müsste ich tun, wenn ich den Taschenrechner nicht hätte, sondern das schriftlich ausrechnen müsste?
Der Taschenrechner nähert die Logarithmus Funktion nur an, da gibt es mehrere Möglichkeiten, ich kenne mich dafür jedoch nicht gut genug aus. Zum Beispiel kann der Logarithmus mithilfe von Taylorreihen approximiert werden.
Wie gesagt, es ist dann jedoch nur eine Annäherung. Du wirst es per Hand auch nicht exakt hinbekommen, außer du versuchst die von mir genannte Gleichung exakt zu lösen, wobei das auch nicht immer klappt.
Wenn du das als Schulaufgabe bekommst, bei der du keinen Taschenrechner nutzen sollst, dann sollte es ausreichen, wenn du die Gleichung löst, da die Aufgaben dann so gestellt sind, dass man die Gleichung leicht per Hand lösen kann, da die Zahl dann eine ganzzahlige Potenz der Basis ist.
interessanter link . vor allem weil der Begriff "teuerste Operation" enthalten ist