Was ist die Stammfunktion davon?mathe?
90•0,87^x
3 Antworten
Fragen Sie doch einfach das Internet: https://www.integralrechner.de/
Da finden Sie Ihre Stammfunktion mit Rechenweg, wie man darauf kommt. :3
Ich kann es Ihnen aber auch einmal vorrechnen...
Es ist a nicht gerade schwer:
f(x) = 90 * 0,87^{x}
f(x) = 90 * 87^{x} / 100^{x}
f(x) = 90 * (87)^{x} / (100)^{x}
f(x) = 90 * (e^{ln(87)})^{x} / (e^{ln(100)})^{x}
f(x) = 90 * e^{ln(87) * x} / e^{ln(100) * x} | u(x) := e^{ln(87) * x} / e^{ln(100) * x} (substituieren)
u(x) = e^{ln(87) * x} / e^{ln(100) * x}
u'(x) = [e^{ln(87) * x} / e^{ln(100) * x}]' | Qoutientenregel
u'(x) = ([e^{ln(87) * x}]' * e^{ln(100) * x} - e^{ln(87) * x} * [e^{ln(100) * x}]') / (e^{ln(100) * x})^{2}
u'(x) = ([e^{ln(87) * x}]' * e^{ln(100) * x} - e^{ln(87) * x} * [e^{ln(100) * x}]') / e^{2 * ln(100) * x} | Ableitung der e-Funktion und Kettenregel
u'(x) = ([ln(87) * x]' * e^{ln(87) * x} * e^{ln(100) * x} - e^{ln(87) * x} * [ln(100) * x]' * e^{ln(100) * x}) / e^{2 * ln(100) * x}
u'(x) = ([ln(87) * x]' * (e^{ln(87)})^{x} * (e^{ln(100)})^{x} - (e^{ln(87)})^{x} * [ln(100) * x]' * (e^{ln(100)})^{x}) / (e^{ln(100)})^{2x}}
u'(x) = ([ln(87) * x]' * (87)^{x} * (100)^{x} - (87)^{x} * [ln(100) * x]' * (100)^{x}) / (100)^{2x}
u'(x) = ([ln(87) * x]' * 87^{x} * 100^{x} - 87^{x} * [ln(100) * x]' * 100^{x}) / e^{2 * ln(100) * x} | Produktregel
u'(x) = (([ln(87)]' * x + ln(87) * [x]') * 87^{x} * 100^{x} - 87^{x} * ([ln(100)]' * x + ln(100) * [x]') * 100^{x}) / 100^{2x} | Konstantenregeln
u'(x) = ((0 * x + ln(87) * [x]') * 87^{x} * 100^{x} - 87^{x} * (0 * x + ln(100) * [x]') * 100^{x}) / 100^{2x}
u'(x) = ((0 + ln(87) * [x]') * 87^{x} * 100^{x} - 87^{x} * (0 + ln(100) * [x]') * 100^{x}) / 100^{2x}
u'(x) = ((ln(87) * [x]') * 87^{x} * 100^{x} - 87^{x} * (ln(100) * [x]') * 100^{x}) / 100^{2x} | Potenzregel
u'(x) = ((ln(87) * 1) * 87^{x} * 100^{x} - 87^{x} * (ln(100) * 1) * 100^{x}) / 100^{2x}
u'(x) = ((ln(87)) * 87^{x} * 100^{x} - 87^{x} * (ln(100)) * 100^{x}) / 100^{2x}
u'(x) = (ln(87) * 87^{x} * 100^{x} - 87^{x} * ln(100) * 100^{x}) / 100^{2x}
u'(x) = (ln(87) * 87^{x} * 100^{x} - ln(100) * 87^{x} * 100^{x}) / 100^{2x}
u'(x) = ((ln(87) - ln(100)) * 87^{x} * 100^{x}) / 100^{2x}
u'(x) = (ln(87 / 100) * 87^{x} * 100^{x}) / 100^{2x}
du / dx = (ln(87 / 100) * 87^{x} * 100^{x}) / 100^{2x} | ()^{-1}
dx / du = 100^{2x} / (ln(87 / 100) * 87^{x} * 100^{x}) | * du
dx = [100^{2x} / (ln(87 / 100) * 87^{x} * 100^{x})]du
F(x) = int[90 * 87^{x} / 100^{x}]dx | dx := dx = [100^{2x} / (ln(87 / 100) * 87^{x} * 100^{x})]du
F(x) = int[90 * 87^{x} / 100^{x} * 100^{2x} / (ln(87 / 100) * 87^{x} * 100^{x})]du
... | das standart Zeug
F(x) = -(90 * 87^{x}) / ((ln(100) - ln (87)) * 100^{x}) = -(90 * 87^{x}) / ((ln(100 / 87)) * 100^{x}) + c
(Es gibt aber mehrere mögliche Stammfunktionen...
Ein paar andere wären (Sie können die alle natürlich überprüfen, indem Sie die ableiten:)
F(x) = -(90 * 87^{x}) / ((ln(100) - ln (87)) * 100^{x}) + c = -(90 * 87^{x}) / ((ln(100 / 87)) * 100^{x}) + c
F(x) = -90 / ((ln(100) - ln(87)) * 100^{(1 - ln(87) / ln(100)) * x}) + c = -90 / (ln(100 / 87) * 100^{(1 - ln(87) / ln(100)) * x}) + c
F(x) = 90 * 0,87^{x} / ln(0,87) + c
...
Ich hoffe, dass ich weiterhelfen konnte.^^
Bei weiteren Fragen stehe ich natürlich zur Verfügung. :3
b * a^x ist das allgemein , wofür du das unbestimmte Integral suchst.
.
Da gibt es eine Regel , die kann man nutzen :
.
a^x >>>> Int >>>> 1/ln(a) * a^x
.
Hier also
90/ln(0.87) * 0.87^x
.
Fertig .
Lustiges Beispiel
hättest du f(x) = 90*ln(0.87)*0.87^x wäre das Integral 90*0.87^x ....... :)))
F(x) = 90x • 0.87/2x^2 + C
(C=0)
glaub ich xd
Stammfunktion heißt aufleiten. Da kommt nix mit Logarithmen glaub. Was ist die genaue Aufgabe?
Der ln() kann beim "Aufeiten" schon entstehen.
Z.B. bei f(x) = ln(x),
denn da ist F(x) = x * ln(x) − x + c = x * (ln(x) − 1) + c
Bilden wir hier die Stammfunktion müssen wir die Basis der Potenz auf e ändern, dabei entsteht dann in Exponenten sowas mit ln(). Beim weiteren vorgehen kommt der ln() aus den Exponenten vor die Basis kopiert mit so'n paar Operationen drumherum...
PS
Alle dir mir bekannten Stammfunktionen von f(x) = 90 * 0,87^{x} haben ein ln() in sich:
f(x) = 90 * 0,87^{x}
F(x) = -(90 * 87^{x}) / ((ln(100) - ln (87)) * 100^{x}) + c = -(90 * 87^{x}) / ((ln(100 / 87)) * 100^{x}) + c
F(x) = -90 / ((ln(100) - ln(87)) * 100^{(1 - ln(87) / ln(100)) * x}) + c = -90 / (ln(100 / 87) * 100^{(1 - ln(87) / ln(100)) * x}) + c
F(x) = 90 * 0,87^{x} / ln(0,87) + c
...
PPS
Sie können ganz einfach überprüfen, dass Ihre Stammfunktion falsch ist, indem Sie die tammfunktion ableiten. Das Ergebnis sollte gemäß den Fundermentalsatz der Analyses die Ausgangsfunktion sein, ist es jedoch hier nicht: F'(x) = f(x)
Ne das muss irgendwas mit ln sein