Warum kommt bei der Formel von Heron bei manchen Zwhlenpaaren Null bzw. warum bilden diese Zahlenpaare keine Dreiecke mit einem Flächeninhalt?
1/4×√{(2×a×b)^2-(a^2+b^2-c^2)^2}
Hängt das auch damit zusammen ob die Zahlenpaare rationale oder irrationale Komponenten haben und stimmt es das der Term gegen Null konvergiert wenn a, b und c immer unterschiedlicher werden, oder sich einem gewissen relativen Differenz anähren die anderweitig mathematisch determiert ist?
2 Antworten
Die Dreiecksungleichung sollte schon erfüllt sein, a + b >= c, sonst gibt es kein Dreieck.
Weil die Gleichung keine Dreiecke mit irrationalen Winkel berücksichtigt
a/sin(a)=b/sin(b)
a/sin(a)=c/sin(c)
(a)+(b)+(c)=180° |-(b); -(c)
=>
sin(a)/a=1/{b/sin(b)} |×a
sin(a)/a=1/{c/sin(c)} |×a
(a)=180°-(b)-(c)
=>
sin(a)=1/{b/sin(b)}×a
sin(a)=1/{c/sin(c)}×a
(a)=180°-(b)-(c)
=>
a=arcsin[1/{b/sin(b)}×a]
a=arcsin[1/{c/sin(c)}×a]
(a)=180°-(b)-(c)
=>
180°-(b)-(c)=arcsin[1/{b/sin(b)}×a]
180°-(b)-(c)=arcsin[1/{c/sin(c)}×a]
=>
sin[180°-(b)-(c)]=1/{b/sin(b)}×a
sin[180°-(b)-(c)]=1/{c/sin(c)}×a
Hm um das aufzulösen bin ich gerade zu blöd
Ich weiss nicht, worauf du hinaus willst.... Wahrscheinlich habe ich nicht mal die ursprüngliche Frage verstanden
Ich will einfach die Winkel für das Dreieck mit den Seiten (3, 4, 5), zwei davon müssten mindestens irrational sein
Ich bin mir nicht sicher ob ich da selber gerade durchblicke, aber irgendwie bilden nur eine bestimmte Anzahl von ganzen Zahlen solche Dreiecke, bzw. erfüllen diese Gleichung aber was ist das Muster findest du zum Beispiel noch drei irrationale Zahlen/Seiten die solch ein Dreieck/Gleichung erfüllen
Die Formel von Heron liefert die Fläche des Dreiecks mit den Seiten a, b, c. Das geht für alle Dreiecke. Im rechtwinkligen Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 sind die zwei Winkel arcsin(3/5) und arccos(4/5) irrational, aber das ist eine andere Frage.
a=1, b=2, c=3 gibt kein Dreieck, sondern eine Linie der Länge 3
ja das mein ich ja, jetzt gehe mir mal drei ganze Zahlen mit denen das geht
Du gibst kein Beispiel von solchen Zahlenpaaren (Tripeln?) an. Aber denk daran, daß in Dreiecken die Dreiecksungleichung gilt: Jede Seite ist kürzer als die Summe der anderen beiden. Deshalb ist a=5, b=1 und c=2 kein Dreieck, und die Ἥρωνsche Formel kann daher auch keinen Flächeninhalt liefern, wenn man diese Zahlen einsetzt.
c=3 ist ja auch nicht größer als die Summe a+b=3, daher ist das kein Dreieck, oder wenn Du so willst, ein entartetes Dreieck, bei dem alle drei Punkte auf einer Geraden liegen. Die Ἥρωνsche Formel liefert A=0, und das ist das Beste, was man dazu ausrechnen kann.
Ich dachte der Sonderfall das a+b c ist geht auch manchmal
Irgendwie geht das ja auch gerade noch: Im Fall a+b=c kriegt man für den Flächeninhalt Null heraus, und das ergibt irgendwie auch Sinn.
Im Fall a+b>c kommt dann ein imaginärer Flächeninhalt ohne Bedeutung heraus.
unter der Voraussetzung c>max(a,b)
Die Dreiecksungleichung alleine reicht nicht es gibt auch keine Paare dreier ganzer Zahlen die funktionieren, zumindest hab ich keins gefunden