Gleichschenkliges Dreieck in drei flächengleiche Teile zerlegen
Guten Morgen miteinander,
eins direkt vorweg. Es handelt sich hier nicht um eine Hausaufgabe. Dafür bin ich doch schon etwas zu alt. Es geht um mein neues Strickprojekt für eine Stola.
Ich möchte das gleichschenklige Dreieck (Bild im Anhang) in drei gleich große Flächen zerlegen (gestrichelte Linien). Ich habe es bisher zwar geschafft, drei Flächen rechnerisch zu ermitteln, die haben dann aber nicht den identischen Flächeninhalt.
Hintergrund ist, das ich drei 50 Gramm Knäuel in unterschiedlichen Farben habe, und ich muß mit jedem Knäuel in etwa gleich weit kommen.
Im Netz findet man haufenweise Zerlegung in 2 Flächen, das hilft einem mathematischem Embryo wie mir aber nicht weiter.
Schon im Voraus vielen Dank für Eure hilfreichen Antworten.
Angie
4 Antworten
Es geht um mein neues Strickprojekt
Gut, dass Du das gesagt hast. Das heißt, Du brauchst keine Lösung mit Zirkel und Lineal, sondern eine einfache Zahl als Ergebnis.
Die Trennlinien laufen parallel zu der einen Seite? Wenn Du eine schnelle Lösung brauchst, musst Du den Rest ausprobieren, da meine Mittagspause zu Ende ist und ich erst die erste Linie errechnet habe:
Die erste Linie (die am nächsten zur Ecke) bekommst Du, indem Du von der Ecke ausgehend auf den beiden Schenkeln jeweils 57,7% von deren Gesamtlänge abträgst.
Für Mathematiker: Das ist 1/Wurzel(3), und dass der Flächeninhalt des so gebildeten Dreiecks genau 1/3 des großen Dreiecks ausmacht, lässt sich leicht zeigen.
Die zweite Linie ist leider nicht so einfach zu finden :-(
Über eine Wurzelfunktion wäre ich nie darauf gekommen. Ich habe mich zu sehr an den Winkelfunktionen festgebissen.
Ich habe es mal auf Millimeterpapier nachgezeichnet und es sieht logisch und harmonisch aus. Vielen Dank dafür!
Ich habe es mal auf Millimeterpapier nachgezeichnet
Und die Kästchen nachgezählt? Oder ausgeschnitten und gewogen?
Freut mich, dass ich helfen konnte. Und zur Beruhigung: Ich kam auch nicht sofort auf die Idee, die Fläche 2/3 des Dreiecks anstatt der Fläche 1/3 des Trapezes zur Berechnung heranzuziehen.
Diese Problemstellung hat unendlich viele Lösungen Neben der bereits genannten Lösung von guinan kann man auch eine Seite in Drittel teilen und von diesen beiden Punkten zur gegenüberliegenden Spitze teilen. Das sind dann drei Dreiecke mit gleicher Grundseite und gleicher Höhe.
Hallo unknown1966,
das Problem ist aber, es entsteht mit meinem gestreiften Muster auf dem Bild ja nur ein Dreieck rechts. Die mittlere und die linke Fläche sind ja eher etwas windschiefe Parallelogramme.
Auch das "Mittlere" ist ein Dreieck. Das letzte Parallelogramm ist dann der "Rest".
Du brauchst den Schwerpunkt des Dreiecks. Das ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Von dort eine Linie zu den Spitzen gezogen müsste dein Problem lösen.
Hallo guinan,
hilft mir der Schwerpunkt nicht nur dann, wenn ich das Dreieck in Richtung der Spitzen teilen möchte?
Es soll ja gestreift aussehen (wie auf dem Bild), da finde ich mit den Seitenhalbierenden nicht den richtigen Ansatz. Aber das kann auch an mir liegen, wie schon gesagt, mathematische Blindschleiche.
Nee, in dem Falle würde ich den Weg nehmen, den unknown vorschlägt- wobei das keine parallelen Streifen sind.
Für Streifen wie auf deinem Bild würde ich mir ne Papierskizze machen und rechnen.
Fläche Dreieck: Grundseite mal Höhe /2.
1) GEsamtfläche ausrechnen.
2) Gesamtfläche durch 3 teilen. Dieses wäre die Fläche für das kleine linke Dreieck im Dreieck.
3) Die Fläche für das mittlere Teildreieck (von rechts aus gesehen) wären dann Gesamtfläche : (2/3).
4) Nun per ausprobieren passende Höhen und Grundseiten finden, für die das passt. Willst du die Streifen den parallel zur linken Seite haben? Oder senkrecht zur rechten Seite? Oder ist es vielleicht gar kein gleichseitiges Dreieck, sondern ein rechtwinkliges( das sieht nämlich in der Zeichnung so aus)? Davon hängt ab, ob die Lösung eindeutig wäre oder es mehrere Möglichkeiten gibt, unter denen du per ausprobieren die wählst, die ästhetisch für dich die Schönste ist.
Danke guinan,
ich habe schon fast "befürchtet", daß es auf das altmodische Papier und Stift hinausläuft.
Es beruhigt mich aber, daß meine Versuche der mathematischen Lösung an der simplen Tatsache gescheitert sind, dass es keine mathematische Lösung gibt.
Es ist übrigens ein gleichschenkliges Dreieck, kein gleichseitiges. Nur meine Zeichenkünste lassen zu wünschen übrig.
Es geht schon rein formal, wenn man genau weiß, ob parallel oder senkrecht und wie das Dreieck beschaffen sein soll. Wird nur kompliziert für dich. Warum schwer, wenns auch einfacher geht.
Wenn von dem großen Dreieck alle Seiten bekannt sind, dann kannst du die Winkel leicht errechnen, welche auch für die kleineren Dreiecke gleich sind. (sin, cos, tan)
Vom großen Dreieck hast du alle Maßen, auch die Höhe.
Weiterhin weißt du, dass (c/2)/h = (c2/2)/h2 = (c3/2)/h3 ist (Strahlensätze). Hinzukommt, dass der Flächeninhalt des großen Dreiecks dreimal so groß ist, wie der des kleinen Dreiecks. A = 1,5A2 = 3A1.
Konzentrieren wir uns mal auf das kleine:
A = 3A1
I h * c/2 = 3 * h3 * c3 / 2 | Unbekannte: h3, c3 [aus Formel für Flächeninhalt]
II (c/2)/h = (c3/2)/h3 | Unbekannte: h3, c3 [aus Strahlensatz]
Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten nach den bekannten Methoden Additionsverfahren, Einsetzungsverfahren, ... lösen
Wenn du diesen Anfang hast, kannst du leicht a3 berechnen. Auf gleicher Art erhältst du c2 und a2.
Auch wenn es nicht komplett ausformuliert ist, hoffe ich, dass ich dir helfen konnte.
Ich korrigiere mich: Die zweite Linie ist genauso einfach zu finden.
Die zweite Linie (die am nächsten zur ihr parallelen Seite) bekommst Du, indem Du von der Ecke ausgehend auf den beiden Schenkeln jeweils 81,6% von deren Gesamtlänge abträgst.
Für Mathematiker: Das ist Wurzel(2 / 3), und dass der Flächeninhalt des so gebildeten Dreiecks genau 2/3 des großen Dreiecks ausmacht, lässt sich leicht zeigen. Somit bleibt für das linke Trapez noch wie gewünscht 1/3 übrig, und das rechte Dreieck ist, wie zuvor gezeigt, auch 1/3.