Eure Lehrer tun immer so, als wenn kubistische Funktionen ein Abenteuer seien; so als wenn jede Kurve etwas Individuelles an sich hätte.
" Sie singen alle immer wieder die selbe Melodie. "
Für Spickzettel und Regelheft. Sie verlaufen PUNKT SYMMETRISCH gegen ihren WP . Da der ===> Leitkoeffizient positiv ist, ist die Asymptotik ( + °° ) für x ===> ( + °° ) Umgekehrt kommt sie von ( - °° ) ; dafür lassen sich zwei alternative Gründe angeben. Schon deshalb, weil das Polynom ja ungerade ist. Aber auch wegen der Spiegelsymmetrie. Wenn du Extrema hast, sind es immer genau 2 . Und zwar wegen der Asymptotik fällt das Maximum immer links und das Minimum rechts; da brauchts gar keine langatmigen Untersuchungen mit der 2. Ableitung. ( Es gibt auch Regeln ohne Ausnahme; z.B. musst du immer von Links nach Rechts lesen und nicht umgekehrt. )
( Außerdem ist das ja selbstbezüglich; " keine Regel ohne Ausnahme " ist ja selbst eine Regel. )
Nun bewirkt aber die Spiegelsymmetrie, dass diese beiden Extrema symmetrisch zum WP fallen; Spickzettel und Formelsammlung
x ( w ) = 1/2 [ x ( max ) + x ( min ) ] ( 1a )
f ( w ) = 1/2 [ f ( max ) + f ( min ) ] ( 1b )
Recht unkonventionell kommt Frage f) daher. Gefragt ist nach den Extrema der ersten Ableitung. Extrema auf einer Menge M , die gleichzeitig ===> innere Punkte von M sind im Sinne der ===> Topologie, heißen lokale Extrema . Alle Punkte einer Menge M, die nicht innere Punkte sind, heißen ===> Randpunkte; ein ( absolutes ) Extremum könnte ja auch Randpunkt des Definitionsbereichs sein. Um uns mit f) auseinander zu setzen, bednötigen wir ein typisches Teorem mit der Erfahrung von drei Silvestern Mensa, das für den Dienstgebrauch von Schülern fast schon zu hoch ist:
Satz vom Extremum
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Jede stetige Funktion y = f ( x ) nimmt auf einer ===> kompakten Menge K ihr absolutes Minimum und Maximum an.
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Betrachten wir in deinem Falle die Ableitung
f ' ( x ) = 1/3 x ² - 2 x + 8/3 ( 2 )
In dem WP der Funktion f ( x ) nimmt sie ein lokales Minimum an, das gleichzeitig ihr absolutes ist ( Wenn dir die Anschauung nicht genügt, mach die Kurvendiskussion ( KD ) von ( 2 ) ) Der WP ist ausgezeichnet als Punkt des steilsten Gefälles. Ein ( absolutes ) Maximum besitzt f ' jedoch nicht; zu Mindest dann nicht, wenn der Definitionsbereich von f gleich |R ist ( Da ja |R nur aus inneren Punkten besteht,
" Die reelle Achse ist eine Rand lose Brille. " ) müsste jedes absolute Maximum auch ein lokales sein; ( 2 ) kann aber nur ein Extremum haben - warum? ) In dem oben angegebenen Maßstab ist aber der Definitionsbereich auf das Intervall [ 0 ; 60 ] beschränkt; Kandidaten für absolutes Maximum von f ' sind somit nur die Randpunkte x = 0 und x = 60 .
f ' ( 0 ) = 8/3 . Das ===> Hornerschema habt ihr alle drauf; weiß ich von dem Konkurrenzportal ===> Lycos. Ganz große Künstler schaffen Horner im Kopf; ansonsten wenn du an dem exakten Wert von f ' ( 60 ) intressiert bist, nimm dir ein Schmierblatt; für Nummerik reicht's zur Not auch, Horner auf dem TR zu programmieren ( DAS solltest du unbedingt lernen; das ist wie großindustrielle Produktion. )
Selbst Erstsemester missverstehen obigen Extremumssatz gründlich; daher einige Beispiele und Gegenbeispiele. Wenn ich die Sinusfunktion auf ganz |R definiere, fallen ihre absoluten Extrema mit den lokalen zusammen. Die Funktion
f ( x ) := x ( 3a )
besitzt überhaupt keine lokalen Extrema; sie ist monoton. Gib ihre absoluten Extrema auf [ 0 ; 1 ] an. Besitzt sie absolute Extrema auf ( 0 ; 1 ) ? Die Normalhyperbel
f ( x ) := 1 / x ; 0 < x < = 1 ( 3b )
besitzt keine ( absoluten ) Maxima. Das ist kein Widerspruch, da ihr Definitionsbereich nicht kompakt ist.
Viele bringen dieses Teorem irrtümlich in Verbindung mit einer " notwendigen Bedingung f ' ( x0 ) = 0 " Erstens hat es damit gar nichts zu tun; und zweitens gibt es keine " notwendigen " Bedingungen. Es gibt nur hinreichende. Ganz einfaches Gegenbeispiel; die euch wohl bekannte Betragsfunktion besitzt in x0 = 0 ein lokales Minimum. Aber sie ist dort nicht differenzierbar, geschweige ihre Ableitung irgendeinen Wert besitzt. Die hinreichende Bedingung lautet, richtig formuliert
" Sei n gerade. Wenn f ( x ) in x0 eine n-fache Nullstelle besitzt ===> x0 ist lokales Extremum, wobei das Vorzeichen der n-ten Ableitung über Maximum / Minimum entscheidet. "
Betrachte den Fall
f ( x ) := x ^ 4 712 ( 3c )
( Für n > 1 ungerade ergibt sich ein ===> Terrassenpunkt )
n-fache Nullstelle - das heißt eben immer auch: n-Mal differenzierbar in einer ( offenen ) Umgebung von x0 . Die Nullstelle der Betragsfunktion hat gar keine " Ordnung "
( max Zeichen )