Warum kann ich arctan(x) als Gegenbeispiel für eine streng monoton steigende Funktion R-->R nehmen, die nicht surjektiv ist, ist arctan R-->R überhaupt?
Mein Verständnisproblem hier ist, dass ich nicht verstehe, warum arctan(x) R-->R ist, ist arctan nicht R--> [-pi/2,pi/2]?
3 Antworten
Wenn du arctan als eine Funktion nach (-pi/2,pi/2) betrachtest, dann ist die surjektiv, ja.
Wenn du aber R als Bildbereich nimmst, dann ist die Funktion eben nicht surjektiv, da die Werte außerhalb von (-pi/2,pi/2) nicht angenommen werden.
Joa...
Der arctan(x) ist halt in reellen streng monoton steigend.
Der Arcustangens ist für jede komplexe Zahl definiert, also auch für reelle.
Joa betrachten wir jetzt die Difinition von streng monoton steigend sehen wir das sie zutrifft.
Die Surjektivität ist hier vollkommen egal.
Wenn Sie das dennoch stört, können wir auch einfach mit den Arcustangens2 arbeiten.Wir könne aber auch R als Bildbereich nehmen, dann ist das Problem weg.
PS
Der Arcustangens ist in komplexen sehr interessant. Das wäre vielleicht ein Thema was Sie interessieren könnte. Der "arctan(x)" mit "x E C".
Wenn Sie das dennoch stört, können wir auch einfach mit den Arcustangens2 arbeiten.Wir könne aber auch R als Bildbereich nehmen, dann ist das Problem weg.
Monotonie ist aber nur bei Funktionen von R nach R definiert.
arctan bildet in die reellen Zahlen ab, was nicht bedeutet, dass jede reelle Zahl als Bild in Frage kommt, wenn das x reell ist... arctan ist also nich surjektiv: https://de.wikipedia.org/wiki/Surjektive_Funktion
im Übrigen ist arctan aber doch streng monoton steigend...
meinst du wirklich „subjektive“ oder „surjektiv“?