Warum ist logarithmieren eine Äquivalenzumformung?
Hi, wenn ich eine Gleichung habe, darf uch ja auf beiden Seiten logarithmieren. Z. B. so: x=y ln(x)=ln(y). Aber warum ist das so? Wie kann man sich das herleiten? Vielen Dank im Voraus
4 Antworten
Wenn zwei Zahlen gleich sind, dann sind auch deren Logarithmen gleich → also handelt es sich dabei um eine Äquivalenzumformung; außerdem gilt es auch umgkehrt!
außerdem gilt es auch umgkehrt!
Das ist sogar entscheidend dafür, dass es eine Äquivalenzumformung ist.
Versuch mal, Werte für x und y zu finden, so dass diese beiden Gleichungen x=y und ln(x)=ln(y) NICHT äquivalent sind.
Frage: Gibt es x und y so dass: ln(x)=ln(y) obwohl x≠y
Und umgekehrt: Gibt es x und y so dass: ln(x)≠ln(y) obwohl x=y
Nein, gibt's nicht! Das sieht man schon am Verlauf des Graphen.
Da es keine x und y gibt, für die die Äquivalenz NICHT gilt, folgt im Umkehrschluss, dass für alle x und y die beiden Gleichungen äquivalent sind :-)
Äquivalenz bedeutet Gleichwertigkeit! Wenn ich eine Gleichung oder einen Term oder ein einzelnes Glied umforme, kann es nur gleichwertig geschehen! Ich kenne also keine andere, oder doch?
Beide Seiten einer Gleichung quadrieren z.B. ist keine Äquivalenzumformung. Multiplikation mit 0 schon gar nicht.
Äquivalenzumformung heißt, dass man auf beiden Seiten der Gleichung die selbe Rechenoperation vollzieht ; dies muss auch sein, da man sonst eine Ungleichung herbeiführt.
Ob ich jetzt auf beiden Seiten +trölf rechne oder logarithmiere ist hierbei egal ; das Gleichheitszeichen "stimmt" immer noch.
Nun, für mich ist eine beidseitige Multiplikation eine Äquivalenzumformung.
25=x² | *0
0*25=0*25
Beides ist Null.
Ebenso ist für mich ein beidseitiges quadrieren eine Äquivalenzumformung.
25=x² |()²
625=x^4
Vierte Wurzel aus 625 ist +-5
Natürlich kann ich hierbei etwas übersehen haben. Magst du mich erleuchten?
1. Multiplikation mit 0 ist KEINE Äquivalenzumformung:
25=x² | •0
=> 0=0 Diese Richtung ist ok :-)
Aber Äquivalenz bedeutet, dass es auch in die andere Richtung funktionieren muss!
Mit welcher Umformung kommst du von der Gleichung 0=0 auf
25=x² ???
2. Quadrieren ist KEINE Äquivalenzumformung:
Z.B. die Gleichung x=5 hat genau EINE reelle Lösung: 5
Die quadrierte Gleichung x²=25 hat ZWEI reelle Lösungen: 5 und -5
Somit sind die beiden Gleichungen NICHT äquivalent!
Reicht das so?
Hier kann man's auch noch mal nachlesen:
https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzumformung
Ganz so einfach ist es NICHT!
Nicht JEDE Rechenoperation, die man auf beiden Seiten der Gleichung vollzieht, ist eine Äquivalenzumformung!
Z.B. Beide Seiten einer Gleichung quadrieren, ist KEINE Äquivalenzumformung!
Multiplikation mit 0 ist KEINE Äquivalenzumformung.