Darf ich bei größer -und kleiner Zeichen eine Äquivalenzumformung machen ?

Hallo😊

Darf ich bei größer -und kleiner Zeichen eine Äquivalenzumformung machen  ?

Weil hier hat man beide Seiten durch e^x geteilt, obwohl kein "ist gleich" zeichen vorhanden ist.

Answer 1

[BorisG2011]

Die Frage, ob Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen zulässig sind und welche Umformungen bei Ungleichungen überhaupt Äquvivalenzumformungen sind, wurde bereits beantwortet. Hier der Hinweis, dass die gestellte Ausgabe auch ohne eine Division durch eine positive Zahl lösbar ist.

Du hast

$f_2\left(x\right)\ =\ e^{^x}\cdot\left(x\ -\ 2\right)$ Zerlege die 2 in die Summe 1 + 1. Du erhältst:

$f_2\left(x\right)\ =\ e^{^x}\cdot\left(x\ -\ 1\ -\ 1\right)$ und daraus mit dem Distributivgesetz

$f_2\left(x\right)\ =\ e^{^x}\cdot\left(x\ -\ 1\right)\ -\ e^{^x}$

Jetzt hast du auf der rechten Seite aber f1(x) als einen der beiden Summanden stehen und kannst folglich schreiben:

$f_2\left(x\right)\ =\ f_1\left(x\right)\ -\ e^{^x}$ Umstellen ergibt

$f_1\left(x\right)\ =\ f_2\left(x\right)\ +\ e^{^x}$

Da e^x stets positiv ist, folgt daraus die Behauptung.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium der Mathematik

Answer 2

[Hamburger02]

Darf ich bei größer -und kleiner Zeichen eine Äquivalenzumformung machen  ?

Ja, Ungleichungen werden im Prinzip genauso bearbeitet bzw. umgeformt wie Gleichungen.

Der Unterschied besteht aber darin, dass in dem Moment, wo man mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert, das Ungleichzeichen umgedreht werden muss.

Beispiel:

3 < 5

mal -1:
-3 > -5

Answer 3

[Tannibi]

In dem Fall geht das, weil e^x immer positiv ist.
In manchen Fällen geht es aber nicht.

Answer 4

[Onesimus]

Es gibt einige Dinge, die man nicht darf. Z.B. beim mit -1 multiplizieren würde sich die Relation umdrehen. Nicht monoton steigende Funktionen sind auch gefährlich.

Answer 5

[ralphdieter]

Äquivalenzumformungen darfst Du immer machen. Deswegen heißen sie ja so.

Die Frage ist eher, herauszufinden, ob eine Umformung eine äquivalente Ungleichung (=eine mit denselben Lösungen) produziert.

• Auf beiden Seiten denselben Wert addieren oder subtrahieren, ist ok. Das „−x“ ist also korrekt.
• Auf beiden Seiten mit demselben positiven Wert multiplizieren oder dividieren, ist auch ok. Du solltest im ersten Schritt also besser „eˣ>0“ kommentieren.