Warum ist f= r/2?
Wie wollten in der Schule Herleitung, wieso f= r/2 für kleine Winkel gilt. Nun ist aber der Fall, dass der Lehrer nicht erklärt hat, wie man auf CF= r/ 2cos(alpha) kommt.
Kann mir bitte jemand helfen. Es ist das Stichwort Cosinussatz gefallen, aber ich konnte egal, was ich tat nicht herausfinden, wieso das so ist.
1 Antwort
Dass CF= r/(2 cos(alpha)) ist, erkennt man leichter, wenn man noch zwei Tatsachen in die Zeichnung einträgt, damit man sie nicht übersieht:
- Die Länge der Strecke CA ist gleich r.
- Der Winkel ACF am Punkt C ist gleich alpha.
Da das Dreieck CFA an beiden Punkten A und C gleiche Winkel hat, ist es auch gleichschenklig, und damit symmetrisch. Zeichnet man nun von F das Lot auf CA, so zerlegt man CA in zwei Hälften, jede mit der Länge r/2, und man zerlegt CFA in zwei kleine rechtwinklige Dreiecke.
CF ist die Hypotenuse eines dieser beiden rechtwinklige Dreiecke. Ihre Länge ist gleich der Länge der Kathete, mit der sie sich am Punkt C trifft, geteilt durch den Kosinus des Winkels dort, also r/2 geteilt durch cos(alpha).
Damit ist CF = r/(2 cos(alpha)).
Damit CFA = alpha ist müsste man ja wissen, dass f= r/2 ist?
wieso ist CA = r
Weil C der Mittelpunkt der Kugel ist.
und Winkel CFA bei C = alpha
Weil er gleich groß sein muss wie der Winkel zwischen CA und dem zur Achse parallelen ankommenden Lichtstrahl, der auch = alpha ist.
Das ist der Wechselwinkelsatz oder Z-Winkel-Satz. Schau hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Winkel#Wechselwinkel_oder_Z-Winkel
Der Name des Punktes, an dem der Winkel liegt, muss bei der Bezeichnung in der Mitte stehen. Da der Winkel, den wir hier meinen, am Punkt C liegt, können wir ihn also ACF oder FCA nennen. https://de.wikipedia.org/wiki/Winkel#Bezeichnung_von_Winkeln
Sorry falls ich zurückfrage: aber wieso ist CA = r und Winkel CFA bei C = alpha?