Warum ist diese Fassung notwendig?
M := P({1,2})
Warum muss das so umständlich gemacht werden und was ist N? Außerdem erscheint es seltsam, dass zwei leere Mengen in der Potenzmenge auftauchen.
Wozu brauchen wir überhaupt N?
In einer anderen Aufgabe mit einer Teilmenge aus zwei Elementen
b) M := {1, {1,2}} wird diese Lösung angegeben:
Hier wird {1,2} als Menge nicht gleich N gesetzt.
3 Antworten
N:={1,2}
":=" heißt, der Autor definiert N als die Menge, die 1 und 2 enthält. P(N) ist die Menge aller Teilmengen von N.
Das Folgende zeigt, wie die Potenzmenge aufgebaut ist. Das ist nicht umständlich.
Mach Dir klar: Wenn N eine Menge ist, dann ist P(N) eine Menge von Mengen und P(P(N)) eine Menge, die wiederum Mengen von Mengen enthält. Dadurch entsteht jene Komlexität, die Du als "umständlich" emfindest.
ja , ja , das ist das seltsame an Mathe
weil es eine andere Aufgabe ist ................N ist nicht für alle Zeit auf {1,2} festgelegt . Auch nicht in einer Aufgabenabteilung ! In der nächsten Aufgabe ( in dieser Abltelung ) könnten die Hersteller*innen der Aufgabe für { 1,2,3} das N verwenden !
man kann es ungeschickt nennen oder sagen , man will zeigen wie krass abgef**** echte Mathematik eben ist . Immer ganz genau lesen.
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es tauchen NICHT zwei leere Mengen auf . Die erste leere Menge ∅ gehört in jede Potenzmenge , denn diese hat 2 hoch (Anzahl der Elemente in der Ursprungsmenge ) an Elementen . ( Warum ist mir offengestanden immer noch nicht klar ) .
das zweite Element ist nicht die leere Menge ∅ , sondern eine Menge mit der leeren Menge als Element { ∅ } . Das kommt daher ,dass in M ∅ eine Element ist .
Zur Frage, warum die Potenzmenge einer Menge mit |M| = n Elementen gerade 2^n Elemente hat:
Stell dir die n Elemente von M aufgezählt von 1, ... n vor. Jetzt nimmst du alle n-Tupel mit 0en und 1en. Du kannst jetzt jedem dieser Tupel genau eine Teilmenge von M zuordnen:
Ist das k-te Element des Tupels gleich 1, so ist das k-te Element der Grundmenge in der Teilmenge enthalten. Ist das k-te Element des Tupels gleich 0, so ist das k-te Element der Grundmenge nicht in der Teilmenge enthalten.
Andersherum geht diese Zuordnung ganz genauso. Damit hast du eine bijektive Abbildung gefunden zwischen der Menge der Teilmengen von M und der Menge der n-Tupel mit Einträgen aus {0,1}. Und - simsalabim - die Anzahl dieser binären n-Tupel ist natürlich gerade 2^n.
N hat keine besondere Bedeutung. Das ist nur der Name der der Menge {1,2} gegeben wurde. Man hätte diese Menge auch Augustin nennen können. Das wäre aber schreibtechnisch ungeschickt.
Das ist doch auch nicht verwunderlich. In der zweiten taucht es ja auch nicht in der Aufgabenstellung auf.
Es geht doch nur darum, dir klar zu machen, was eine Permutationsmenge ist.
In der zweiten Aufgabe wird die Permutationsmenge von M gebildet. In der ersten due Permutationsmenge einer Permutationsmenge. Auch die Mengen die in beiden Aufgaben M genannt werden sind nicht dieselben. Daran scheinst du dich nicht zu stören. Diese Buchstaben M und N haben keine inhaltliche Bedeutung. Das sind nur Namen.
Hier geht es um Mengen von TEILMENGEN, nicht um Mengen von Permutationen, das sind zwei völlig unterschiedliche Konzepte. Zu einer Menge M mit n Elementen gibt es 2^n Teilmengen, aber n! Permutationen. Die Menge der Teilmengen heißt Potenzmenge, fängt zwar auch mit P an, ist aber was ganz anderes.
Sorry. Ja das war mein Fehler. Ständig verwechselt ich die Worte Potenzmenge und Permutationsmenge.
Ja, aber in beiden Aufgabenstellungen steht erstmal nichts von N.
In der ersten Aufgabe taucht N in der Lösung auf und in der zweiten nicht.