Inhomgene Differentialgleichung 2.Ordnung Lösen?
Hallo,
ich habe Probleme die untere Aufgabe zu verstehen.
Wenn man eine inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung hat , berechnet sich ja dieser aus der Homogenen plus der Partikulären Lösung.
Bei der Partikulären Lösung habe ich starke Probleme, normalerweise habe ich diese immer mit einem Koeffizientenvergleich gefunden, hier aber wird eine Wronski-Matrix benutzt,was mir auch nichts sagt. und später (3. Rote Markierung) in eine mir unbekannte Formel eingesetzt.
Zu meinen Fragen:
Weiß vielleicht irgendwer, was genau hier gemacht worden ist, was die allgemeinen Formeln dazu sind und wo man vielleicht eine gute Anleitung dazu findet?
Ich wäre super Dankbar, wenn mir da jemand helfen könnte.
6 Antworten
Die Wronski-Matrix kenne ich überhaupt nicht.
Inhomogene lineare Dgl 2.Ordnung mit konstanten Koeffizienten
a*y´´+b*y´+c*y=s(x) mit s(x)≠0
allgemeine Lösung y=yah+ypi
yah=allgemeine Lösung der homogenen Dgl
ypi=partikuläre Lösung der inhomogenen Dgl durch Variation der konstanten C1 und C2
yah(x)=C1(x)*y1(x)+C2(x)*y2(x)
Ansatz ypi=C1(x)*y1(x)+C2(x)*y2(x)
homogen lineare Dgl 2.Ordnung a*y´´+b*y´+c*y=0
bei dir 1*y´´-4*y´+4*y=0 Lösung r1,2=-b/(2*a)+/-Wurzel(b²/(4*a²)-c/a)
a=1 und b=-4 und c=4
r1,2=-(-4)/(2*1)+/-Wurzel((-4)²/(4*1²)-4/1)=2+/- Wurzel(4-4)
r1,2=2+/-0
also r1=r2=r
ist der Fall 2) siehe Mathe-Formelbuch,Differentialgleichungen
y=f(x)=e^(r*x)*(C1*x+C2)
y=f(x)=C1*x*e^(2*x)+C2*e^(2*x) allgemeine Lösung
Variation der Konstanten C1 und C2 ergibt
yah(x)=C1(x)*x*e^(2*x)+C2(x)*e^(2*x)
2 mal ableiten
yah´(x)=....
yah´´(x)=.... in y´´-4*y´+4*y=0 und integriert ergibt dann C1(x)=.... und C2(x)=...
in meinem Mathe-Formelbuch steht dann:
hat die Störfunktion eine spezielle Form hier s(x)=12*x²*e^(2*x) also
S(x)=phi(k)*e^(n*x) Ansatz pi=R(k)(x)*e^(n*x) ypi=x^(q)*R(k)(x)*e^(n*x)
mit R(k)(x)=ao+a1*x+a2*x²+...ak*x^(k)
ypi=x^(q)*R(k)(x)*e^(n*x) hier n ist q-fache Wurzel der charakteristischen Gleichung
weiter weiß ich auch nicht.
Ich hoffe,du kannst damit was anfangen
Das geht viel einfacher:
Zuerst löst du den inhomogenen Teil, also y''–4y'+4y=0. Dann kannst du das charakteristische Polynom bestimmen, das ist in dem Fall
Also hast du den Eigenwert 2 mit Vielfachheit 2. Also machst du den Ansatz
Jetzt musst du durch Ausprobieren eine spezielle Lösung h(x) der inhomogenen Gleichung finden. Tipp: Wähle den Ansatz P(x)e^{2x} mit einer allgemeinen Polynomfunktion P(x) des Grades 4. Dann setzt du das in die Differentialgleichung ein und bestimmst die Koeffizienten der Monome, sodass die Gleichung erfüllt ist. Die allgemeine Lösung der DGL lautet nun
Dann musst du natürlich noch die Konstanten c_1 und c_2 so wählen, dass die Anfangswertbedingungen erfüllt sind (Tipp: Lineares Gleichungssystem). Dann bekommst du (wie in der Musterlösung) für c_1 = 3 und c_2=–1.
Das ist der einfachste Weg, wie du das lösen kannst. Den Mist mit der Wronski-Matrix brauchst du nicht zu wissen, das wird nur gemacht, um die Studenten zu quälen. Ich habs damals auch nicht verstanden und hab die entsprechende Klausur trotzdem gut bestanden. Und hab die inhomogenen DGLs höherer Ordnung mit dem oben genannten Lösungsweg gelöst.
hab die Seite https://www.mathe.tugraz.at/... besucht und habe diese pdf-Datei auf meinem PC heruntergeladen.
hier wird aber nur das Format JPEG und PNG unterstützt.
https://www.mathe.tugraz.at/-ganster/Iv_analysis_2/20_variation_der_konstanten-wronsky.pdf
gibr im Suchfeld "wronsky-matrix differentialgleichung" ein,dann werden Seiten gelistet und auch die Seite
Allerdings funktioniert bei mir auch nicht!!
Also bleibt nur noch die Möglichkeit im Suchfeld wronsky-matrix differentialgleichung eingeben
Zur Wronski-Matrix/Wronski-Determinante siehe Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Nr. 22.
Im zweidimensonalen Fall, der hier ja vor liegt, werden in der Wronski Matrix zwei Lösungen der homogenen Differentialgleichung bezüglich der Anfangsbedingungen an t0= 0 gesucht. Für die erste (v1) soll gelten:
v1(0) = 1, v1'(0) = 0
für die zweite soll gelten
v2(0) = 0; v2'(0) = 1
Dann bildet sich die Wronski-Matrix aus den Zeilen (v1(x), v2(x)) sowie (v1'(x), v2'(x)). Läßt sich die Wronski Matrix wie beschrieben bilden, so verschwindet sie offensichtlich in einer Umgebung von t0 nicht und ist damit in dieser Umgebung invertierbar. Aus dieser Inversen läßt sich nun eine partikuläre Lösung konstruieren. Das ganze füllt 3 Seiten im Buch von Heuser, das würde hier ein wenig den Rahmen sprengen. Du solltest dir deine diesbezüglichen Aufzeichnungen durch lesen. Ausserdem solltest du sofern du Mathematik studierst die Bücher von Heuser (Analysis I, II, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Funktionalanlysis) sowieso zuhause im Bücherschrank stehen haben.
Ich habe nur Mascinenbau an einer Fachhochschule studiert.
Ich habe zwar diesen Lösungsansatz in meinem Mathe-Formelbuch,habe aber noch nie solch eine Aufgabe gerechnet.
Das ist Universitätsniveau und hat mit meiner Ausbildung nichts zu tun.
Ich bekomme für meine Arbeit kein Geld und ich habe auch keine Lust mich durch diesen Stoff durchzuarbeiten
Tipp:Frag mal bei den Studenten nach,die schon die Mathematikprüfung bestanden haben.Die müßten solch eine Aufgabe eigentlich rechnen können.
Ich kann dir leider nicht weiter helfen.
Versuch mal die Aufgabe mit .....=12=konstant zu rechen und wenn das funktioniert hat mit .....=x
im Suchfeld (Internet) "Wronsky-Matrix Differentialgleichung" eingeben.
Dann bekommst man ganze Interseiten von Erklärungen und Beispielen.
gibt mal im Suchfeld Wronski-Matrix Differentialgleichnung ein,dann kriegst du eine ganze Liste von Internetseiten.
hier eine https://www.math.tugraz.at/.../20_variation_der_konstanten_wronsky.pdf
Erstmal Danke:)
Die Lösung der Homogenen DGL lautet y(t)=(3-t)e^(2t).
>Wenn ich nun versuche , genau das Vorgeschlagene zu machen , komme ich trotzdem nicht auf deren Martix^^