Warum ist die Endziffer immer gleich?
Also wenn man eine Basis n hat und die dann hoch 5 nimmt, warum haben dann n und das Endergebnis diesselbe Entziffer?
Bsp:
Beide haben diesselbe Entziffer. Aber warum?
2 Antworten
Das kann man sich Stück für Stück überlegen.
Im ersten Schritt kannst du dir klarmachen, dass du das nur für die Basen 0,...,9 zeigen musst, weil die letzte Ziffer der Potenz nur durch die letzten Ziffern der Basis bestimmt wird.
Im zweiten Schritt hilft es zu wissen, dass eine Quadratzahl nur auf 1, 4, 6, 5 oder 9 enden kann. Daher kann eine Zahl hoch 4 nur auf 1, 5 und 6 enden.
Endet x^4 auf 1, so hat x^5 dieselbe Endziffer wie x.
Endet x^4 auf 5, so endet x auch auf 5 und x^5 auch.
Endet x^4 auf 6, so ist x gerade. Dann ist die Endziffer von x^5 dieselbe wie die Endziffer von 6 * Endziffer von x. Da die Endziffer von x gerade ist, kann ich die als 2n schreiben, 6 * 2n = 12 * n = 10 * n+ 2n, und die 10*n beeinflussen die Endziffer nicht.
Damit habe ich alle Fälle erwischt.
Erstens: Ja, das ist in der Tat so bei den Ziffern 0-9.
Was du im Prinzip nachweisen möchtest, ist
n^5 = n (mod 10),
oder n^5 - n = 0 (mod 10),
oder (n^4 - 1) * n = 0 (mod 10)
oder (n^2 + 1) * (n^2 - 1) * n = 0 (mod 10)
Damit das gegeben ist, kannst du separat zwei Gleichungen betrachten:
(n^2 + 1) * (n^2 - 1) * n = 0 (mod 5)
und (n^2 + 1) * (n^2 - 1) * n = 0 (mod 2)
Das zweite ist grundsätzlich gegeben, da entweder n oder n^2+1 gerade sind.
Man sieht bei der ersten schnell, dass sie für alle n erfüllt ist.
Wenn du nach eine tiefere Wahrheit darin suchst - ich bezweifle, dass es da eine gibt. Die Feststellung hängt halt stark daran, dass ein Zehnersystem bei der Darstellung von Zahlen benutzt wird. Ich glaube nicht, dass sich das verallgemeinern lässt auf beliebige Systeme zur Basis m, aber den Beweis habe ich noch nicht geführt.