Warum ist der Erwartungswert von einem Würfel bei 3,5?

Die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 werden mit einer Wahrscheinlichkeit von je 1/6 gewürfelt.

Den Erwartungswert erhält man (nach Definition des Erwartungswerts), indem man jeweils das Produkt der Zahl und der zugehörigen Wahrscheinlichkeit bildet und diese Produkte dann aufsummiert. Im konkreten Fall also...



Jede Zahl hat die gleiche Wahrscheinlichkeit. Es gibt 6 Zahlen insgesamt, summiert man alle zusammen kommt man auf:

(n² + n) / 2 = (36 + 6) / 2 = 42 / 2 = 21

Alternativ: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 => 3 + 7 + 11 => 10 + 11 => 21

Teilt man nun die Summe der möglichen Ergebnisse durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse (21 geteilt durch die 6 möglichen Zahlen) kommt man auf den Erwartungswert, also die Zahl die wahrscheinlichkeitsbedingt den Durchschnitt angibt:

21 / 6 = 3,5

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Vielleicht verständlicher: Jede Zahl ist gleich wahrscheinlich. 6 Zahlen, bedeutet für jede Zahl eine Wahrscheinlichkeit von 1/6.



Wenn die Augenfarben 1 bis 6 Punkte wären, also so was wie ein (High-)Score, dann würde man im Durchschnitt erwarten, dass mit jedem Wurf man 3,5 weitere Punkte erhält.

Weil der Erwartungswert so definiert ist:
Die Summe der möglichen Ergebnisse belegt mit ihrer Wahrscheinlichkeit:

(1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

(1+2+3+4+5+6)/6 =3,5