Warum ist Betrag (a +b) kleiner als Betrag a + Betrag b?
6 Antworten
Ist es ja nicht immer, aber manchmal :)
Beispiel:
|-2 + 2| < |-2| + |2|
Kann aber auch falsch sein:
|2 + 2| = |2| + |2|
Das ist nicht immer so, aber manchmal.
Der Betrag gibt sozusagen die Distanz zur Null an. |-4| ist beispielsweise 4, da die -4 vier Einheiten von der Null entfernt ist.
Wichtig ist dabei, immer erst den Betrag ausrechnen,
|a| + |b| ist nicht immer |a+b|.
Wenn wir uns z.B. einmal -2 und 3 anschauen, dann ist
|-2| + |3| = 2 + 3 = 5,
aber
|-2+3| = |-1| = 1
und somit kleiner als wenn man die einzelnen Beträge addiert.
Das muss nicht sein.
|2+3| = |2| + |3|
Du hast hier wohl einen kleinen Fehler, es muss eigentlich kleiner gleich heißen.
Für alle reelle Zahlen gilt |a+b|<=|a|+|b|
Beide Seiten sind hier größer gleich 0, somit ist das Quadrieren hier eine Äquivalenzumformung.
Die Ungleichung ist also Äquivalent zu
|a+b|^2<=(|a|+|b|)^2
Wende nun an dass |x|^2=x^2 gilt und die erste Binomische Formel, dann erhält man.
a^2+2ab+b^2<=a^2+|2ab|+b^2
Nun entfernt man auf beiden Seiten die identischen Terme (a^2 und b^2)
2ab<=|2ab|
Diese Aussage ist für alle Reelen Zahlen wahr, somit ist die ursprüngliche Aussage wahr.
Wenn a und b verschiedenes Vorzeichen haben, ist (a+b) eigentlich eine Differenz, aber ( |a| + |b| ) nicht. Deshalb gilt: (a + b) <= |a| + |b| .