Epsilon lösen?
Hallo,
ich möchte folgende Aufgabe lösen:
Meine Lösung lautet:
Betrag von ( f(x) - f(x0) ) < Epsilon
= Betrag von ( (x^2+x-2) -(x0^2 + x0 -2) ) < Epsilon
= (x^2+x - x0^2 -x0) < Epsilon
= Betrag von (x-xo) < Epsilon - x0^2 -x^2
-> Delta = -x0^2 -x^2
Daraus folgt, dass die Stetigkeit beweisen ist.
Ist meine Lösung richtig, falls nein: Was gilt es zu bessern?
Danke im Voraus.
1 Antwort
Ufff, benutze bitte Betragsstriche | . |
= (x^2+x - x0^2 -x0) < Epsilon
= Betrag von (x-xo) < Epsilon - x0^2 -x^2
In der ersten Zeile hast du die Betragsstriche vergessen. Außerdem musst du dann irgendwann die Dreiecksungleichung anwenden, also muss irgendwo ein "=" zu einen "<=" werden.
Bei der zweiten Zeile rechts sind die Betragsstriche auch weg, wieso?
-> Delta = -x0^2 -x^2
Wie kommst du jetzt auf das? Erstens wolltest du eher "1-x0^2 -x^2" schreiben, weil Epsilon ja 1 ist und zweitens ist "-x0^2 -x^2" sicher negativ. Du sollst aber ein DELTA GRÖSSER 0 finden. Stichwort Betragsstriche.
Sieht jetzt viel besser aus!
|x^2+x| - | x0^2-x0| Das hier ziehst du nicht auseinander!
Sondern das hier: |(x^2+x - x0^2 -x0) | = |x^2-x0^2+x-x0| <= |x^2-x0^2| + | x-x0|
So, jetzt hast du aber eben das Problem, dass dein Delta von x abhängt. das ist für das Epsilon-Delta-Kriterium ein No-Go.
Weißt du, wie du das lösen könntest?
Danke für die Antwort. Nein, leider weiß ich nicht wie man das mit dem Delta löst. Kannst du mir das erklären? Meine Vermutung ist, ich könnte 1+ Epsilon schreiben, da gilt, dass Epsilon größer ist als Vorbedingung.
Nein, das wird nicht hinhauen.
Ich würde eher so vorgehen...
|x^2-x0^2| + |x-x0| < epsilon
= |(x-x0)*(x+x0)| + |x-x0| < epsilon
= |(x-x0)| * |(x+x0)| + |x-x0| < epsilon
< delta * |(x+x0)| + delta < epsilon
= delta * (|(x+x0)| + 1) < epsilon
= delta < epsilon/(|(x+x0)| + 1)
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Jetzt kommt der "Trick". Man wähle Delta < |x0|
Dann gilt: |x| = |x-x0+x0| <= |x-x0|+|x0| < delta + |x0| < |x0|+|x0| = 2|x0|
Das heißt also: |x| < 2|x0|, wenn man Delta < |x0| vorwählt.
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Oben steht dann...
delta < epsilon/(|2x0+x0|+1) = epsilon/(|3x0|+1)
Weil du Delta vorgewählt hast, musst du jetzt noch das Minimum bilden.
Delta = min(|x0|, epsilon/(|3x0|+1))
Und damit bist du fertig. Nun hast du ein Delta für alle x gefunden.
Da wir das jetzt allgemein gelöst haben (was nicht notwendig war) gilt das natürlich auch für x0 = 2 und epsilon = 1.
Danke für die ausführliche Antwort. Eine kleine Frage hab ich noch: Warum muss man beim Delta im letzten Schritt das Minimum bilden?
Und warum darf man für den Trick Delta < |XO| voraussetzen?
Danke für die ausführliche Antwort. Eine kleine Frage hab ich noch: Warum muss man beim Delta im letzten Schritt das Minimum bilden?
Weil man Delta < |x0| vorgewählt hat. Sollte epsilon/(|3x0|+1) mal größer als |x0| sein, dann wäre das ein Widerspruch. Daher wählt man Delta als das Minimum.
Und warum darf man für den Trick Delta < |XO| voraussetzen?
Delta kannst du prinzipiell vorwählen. Ich hätte genausogut Delta < 1 voraussetzen können. Wie ich Delta wähle, ist im Grunde egal. Am Ende muss ich halt ein Delta für alle Epsilon & x finden.
Danke für die Antwort. Ist die Aufgabe so dann richtig gelöst bzw. verbessert?
| f(x) - f(x0) | < Epsilon
= | (x^2+x-2) -(x0^2 + x0 -2) | < Epsilon
= |(x^2+x - x0^2 -x0) | < Epsilon
= |(x^2+x - x0^2 -x0) | <= |x^2+x| - | x0^2-x0|
= |x-x0| < Epsilon + | x0^2 -x^2|
-> Delta > 1 + |x0^2 -x^2|