Warum gilt tan60°= Wurzel aus 3?
5 Antworten
Hallo,
verbinde mal den Schnittpunkt des Schenkels mit dem Einheitskreis - da, wo sin (60°) steht - mit dem Schnittpunkt des Einheitskreises mit der x-Achse - da, wo die 1 steht.
Dann hast Du ein gleichseitiges Dreieck mit Seiten der Länge 1.
Der Tangens von 60° ist nun das Verhältnis der Höhe dieses Dreiecks zu 1/2.
Da das kleine Dreieck dem großen ähnlich ist, sind die Seitenverhältnisse bei beiden gleich.
Herzliche Grüße,
Willy
Bekannte Sätze:
tan α = sin α / cos α
sin² α + cos² α = 1
sowie: cos 60° = 1/2
wegen des gleichseitigen Dreiecks im Viertelkreis
(nicht vollständig skizziert)
tan 60° = sin 60° / cos 60°
= (√(1 - cos² 60°) / (1/2)
= 2 * √(1 - cos² 60°)
= 2 * √(1 - 1/4)
= 2 * √(3/4)
= 2 * √3 / 2
= √3
Die Höhe (60° gegenüber liegende Seite) ergibt sich laut Pythagoras aus
h² + 0,5² = 1² |-0,5² | Wurzel
h = Wurzel( 1-1/4 )
h = Wurzel(3/4)
h = 1/2 * Wurzel(3)
tan(60°) = h / 0,5 = 0,5 * Wurzel(3) / 0,5
tan(60°) = Wurzel(3)
Im Prinzip spielt sich die Rechnung im inneren, kleinen Dreieck ab. sin, cos und T verwirren.
Gut, einzige Voraussetzung ist, dass man wissen muss, dass h den Radius halbiert. Vermutlich ist dafür der zeichnerische Anteil gedacht.
Aufgrund des Winkels von 60 Grad entsteht im Viertelkreis ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge r (den hellen Schnittpunkt mit der "1" verbinden).
Somit gilt
cos(60) = r/2
sin(60) = Höhe des gleichseitigen Dreiecks = r/2 * sqrt( 3 )
tan(60) = sin(60) / cos (60) = sqrt(3)
Was genau meinst du bei sin(60)=Höhe des gleichseitigen Dreiecks=r/2 • sqrt (3)? Wie kommst du jetzt auf die Wurzel 3?
tan(60) = sin(60) / cos(60)
Vielleicht findest du hier deine Lösung. Vielleicht....
Es geht um einen einheitskreis