Wann ist eine Streckengleichheit vorhanden?

Welche Strecke muss zurückgelegt werden, um auf der Oberfläche eines kugelförmigen Körpers von seinem fiktifen Nordpol in südlicher Richtung bis zum Breitengrad, dessen Breitenkreislänge gleich der zurückgelegten Strecke ist, zu gelangen?

Diese Berechnung konnte ich auf eine einzige Multiplikation reduzieren:

Legende:

D = Durchmesser

az = Anderlik`sche Zahl = 1,34889981

Lösung: Daz = Durchmesser * 1,34889981

Die Anderlik’sche Zahl (az) ist eine faszinierende mathematische Konstante.Obwohl sie möglicherweise nicht so weit verbreitet ist wie π oder e, hat sie dennoch das Potenzial, in verschiedenen mathematischen Kontexten Anwendung zu finden. Hier sind einige Möglichkeiten, wie andere Mathematiker die Anderlik’sche Zahl verwenden könnten:

1. Geometrie und Trigonometrie:

• Die Anderlik’sche Zahl kann verwendet werden, um Bogenlängen in Abhängigkeit von Winkeln zu berechnen. Dies ist besonders nützlich, wenn Sie mit Kreisen, Kugeln oder anderen gekrümmten Flächen arbeiten.
• Zum Beispiel können Architekten oder Ingenieure die az verwenden, um die Länge von Bögen in Gebäuden, Brücken oder anderen Strukturen zu bestimmen.

1. Navigation und Kartografie:

• Bei der Berechnung von Entfernungen auf der Erdoberfläche (z. B. auf Karten) kann die Anderlik’sche Zahl dazu beitragen, genaue Bogenlängen zwischen geografischen Koordinaten zu ermitteln.
• Navigationssoftware und GPS-Systeme könnten diese Zahl verwenden, um präzise Entfernungen zu berechnen.

1. Astronomie und Raumfahrt:

• Bei der Berechnung von Umlaufbahnen von Planeten, Satelliten oder Raumsonden kann die Anderlik’sche Zahl eine Rolle spielen.
• Astronomen könnten sie verwenden, um die Position von Himmelskörpern im Raum zu bestimmen.

1. Mathematische Modelle und Simulationen:

• In mathematischen Modellen, die gekrümmte Oberflächen oder Bewegungen beschreiben, könnte die az als Konstante auftreten.
• Simulationen von Wellen, Strömungen oder anderen physikalischen Phänomenen könnten die Anderlik’sche Zahl verwenden.

1. Künstlerische Anwendungen:

• Künstler und Designer könnten die az verwenden, um interessante Formen oder Muster zu erstellen.
• Sie könnte auch in der digitalen Kunst oder bei der Erstellung von 3D-Modellen Verwendung finden.

Answer 1

[indiachinacook]

Ich verwende sphärische Polarkoordinaten, die am Nordpol den Wert ϑ=0 und am Südpol den Wert ϑ=π haben (am Äquator also ϑ=½π). Das ist anders als die Kon­ven­tion der Geographen, aber ich bin es so gewohnt und es vereinfacht auch die Rech­nung. Mit wenig Mühe sieht man, daß man an einem Punkt mit Winkel ϑ immer genau R⋅sin(ϑ) von der Erdachse entfernt ist, und das ist auch der Radius des Breitenkreises durch diesen Punkt.

Wir haben jetzt eine Kugel vom Radius R und gehen vom Nordpol α Grad entlang ei­nes Me­di­ans nach Süden; dabei legen wir die Strecke s=Rα zurück. Der Breitenkreis durch diesen Punkt hat den Radius R⋅sin(α) und daher den Umfang U=2πR⋅sin(α). Gesucht ist der Winkel α, so daß s=U gilt, also die Lösung der Gleichung α=2π⋅sin(α).

Die Lösung ist ungefähr α=2.69779962 ≈ 154° 34’ 21.12’. Man findet den fraglichen Breitenkreis also in Geographenkonvention bei ca. 64.57° Süd.

So weit so gut, das hast Du auch herausgekriegt (nur, daß Du den Winkel komischer­weise nochmals durch zwei geteilt hat). Aber wozu soll das gut sein?

Comments

[Anderlik]

Mein Lösungsvorsclag ist 1,34889981 D

Wir kommen also zum gleichen Ergebnis.

[indiachinacook]

@Anderlik

Ja, das Ergebnis ist dasselbe. Aber

1. Ich verstehe nicht, warum Du den Winkel durch zwei geteilt hast. Oder anders gefragt: Wer will sich denn schon mit dem Durchmesser abärgern, wenn er auch mit dem Radius rechnen kann.
2. Die von Dir hyperbolisch behaupteten Anwendungen in unzähligen Bereichen kann ich nicht nachvollziehen.

Answer 2

[FataMorgana2010]

Hm. Du hast den Fixpunkt einer bestimmten Funktion berechnet, und wenn du diesen FIxpunkt hast, dann kannst du das mit einer einfachen Multiplikation lösen. Das finde ich jetzt nicht wirklich überraschend. Du hast ja einfach zwei Längen (die Strecke, die du laufen sollst) und den Umfang des entsprechenden Kreises, das setzt du gleich und bekommst dadurch einen bestimmten Winkel heraus (durch eine numerische Lösung).

Was genau ist dein Punkt? Wie hast du die Konstante berechnet?

Comments

[Anderlik]

ok. Nehmen wir unseren Planeten mit 40075 km Umfang, als vollkommen kugelförmig an. Wie weit musst Du vom Nordpol nach Süden wandern um den Breitenkreis zu erreichen, dessen Breitenkreislängen gleich der zurückgelegten Strecke ist?

[Halbrecht]

@Anderlik

Die liebe Nachfrage wünscht deinen Rechenweg zu aufklärerischen Zwecken nachvollziehen zu dürfen

[FataMorgana2010]

@Anderlik

Ich verstehe das Problem, ich teile nur deine Überraschung nicht, dass da am Ende eine Konstante rauskommt, die für alle Kugeln gilt. Und mich interessiert, wie du die Konstante berechnet hast, nicht was sie bedeutet.

Answer 3

[Littlethought]

Ich kannte die Anderlik`sche Zahl az nicht.

Mein Lösungsansatz wäre: L = R * phi = 2R * pi * sin(phi)

Aus der transzendenten Gleichung phi = 2pi * sin(phi) ergibt sich

phi = 2,6977996 und damit az = pi * sin(phi) = pi * 0,4293681 = 1,3488998 = 0,5 * phi ; was mit deiner Lösung übereinstimmt.

Die definitorische Gleichung von az wäre demnach az = pi * sin(2*az) ;

Gibt es noch eine andere Definition der Anderlik`schen Zahl ?