Gebrochenrationale Funktionen Steckbriefaufgaben?
Hii,
Ich sitze gerade an Mathe und habe die Aufgabe bekommen die gebrochen rationale Funktion herauszufinden.
Gegeben sind die Infos..
Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei x=1
Nullstelle bei x=2
Asymptote ist 0,5x
Könnte mir jemand diese ausrechnen und mir das Ergebnis mitteilen, damit ich weiß ob meine Rechnung richtig ist.
Vielen Dank im voraus.
4 Antworten
Ich würde folgendes Modell nehmen
f(x) = (x + a) / (x - 1)² + 0.5 * x
Dann muss gelten :
(2 + a) / (2 - 1) ^ 2 + 0.5 * 2 = 0
Das ist für a = - 3 erfüllt.
Also :
f(x) = (x - 3) / (x - 1)² + 0.5 * x
P.S :
Und ja, das Modell ist in der Tat nicht das einzig denkbare, dieses hier wäre auch möglich :
f(x) = (x + a) ^ 3 / (x - 1) ^ 4 + 0.5 * x
(2 + a) ^ 3 / (2 - 1) ^ 4 + 0.5 * 2 = 0
a = - 3
f(x) = (x - 3) ^ 3 / (x - 1) ^ 4 + 0.5 * x
Das Muster lässt sich fortsetzen / verallgemeinern :
f(x) = ((x + a) ^ n) / ((x - 1) ^ (n + 1)) + 0.5 * x
mit a = - 3 damit die Nullstelle immer bei x = 2 liegt.
Das sind jedes mal völlig verschiedene Funktionen, aber immer mit den geforderten Grundeigenschaften.
Ergänzung :
↑ Unter der Bedingung, dass n eine ungerade natürliche Zahl ist.
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Denkbar wäre auch
f(x) = ((x + a) ^ n) / ((x - 1) ^ m) + 0.5 * x
Wobei n eine ungerade natürliche Zahl ist und m eine gerade natürliche Zahl ist, mit m > n
Dadurch wird das sogar noch stärker verallgemeinert.
die scheint zu passen
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y++%3D+((x-2)%2F(x-1)%5E2)+%2B+0.5
wie vampirjaeger unten richtig sagt : eindeutig ist sie nicht . Der Nenner braucht einen geraden Exponenten. hoch 4,6,8.......2n wäre auch richtig.
Abgesehen davon hat die Funktion keine Nullstelle bei 2.
Hab bis jetzt erst ne Funktion zusammengebracht, die alle Voraussetzungen erfüllt, aber als Asymptote 0.5x-2 hat.
Vielleicht wird's ja morgen was^^
Die Funktion kann nicht eindeutig bestimmt werden.
Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei x=1 bedeutet mindestens Faktor (x-1)^2 im Nenner.
Nullstelle bei x=2 heißt, Faktor (x-2) im Zähler
Asymptote ist 0,5x liefert einen ganzrationalen Anteil von 0,5x nach Polynomdivision.
Eine mögliche Lösung wäre f(x)=0,5x + (x-2)/(x-1)^2.
sorry , hab als asymptote 0,5 statt 0.5x gelesen :((( bzw. was ist überhaupt eine Asymptote , die y = 0.5 x heißt ...........ach ja eine Gerade ...........
0.5 x ist die richtige idee ................ es ist jedoch , wie ich ,außernahmsweise mal ganz schlau, einfach nur : dein bruch + 0.5 ..........siehe meine antwort ....... nicht eindeutig ? stimmt , der exponent im nenner muss nur gerade sein
Deine vorgeschlagene Funktion hat sicher keine Nullstelle bei x = 2.
f(2) = 0.5*2+0 = 1
EIn richtiger Ansatz wäre f(x)=0,5x + a/(x-1)^2. a fidnet man heraus durch Einsetzen der Nullstelle: f(2)=0 <=> 0,5*2+a=0 <=> a=-1,
damit ist f(x)=0,5x-1/(x-1)^2
so nun zu einem anderen , etwas primitivieren Modell als Precursors :
f(x) 0.5x*(x-2)^2/(x-1)^2 .
Bedingungen hoffentlich diesmal erfüllt :))
Jetzt FS erzähle uns von deinem Modell , deiner Lösung.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=0.5x*(x-2)%5E2%2F(x-1)%5E2+%3D+0.5x
wieder etwas daneben, denn sie hat zwei Nullstellen.
Obwohl man dazu sagen muss, dass nirgends gefordert war, dass es nur eine einzige Nullstelle geben darf, man kann daher die Frage meiner Meinung nach so interpretieren, dass halt nur eine einzige Nullstelle bekannt ist.
f(x) = (x - 3) ^ 3 / (x - 1) ^ 4 + 0.5 * x hat zum Beispiel auch 5 Nullstellen, einziger Unterschied ist, dass sich 4 davon im Komplexen "verstecken", und nur eine davon eine reelle Nullstelle ist.
f(x) = (x - 3) / (x - 1)² + 0.5 * x hat 3 Nullstellen, 1 reelle und 2 in den komplexen Zahlen.
ich habe auch ein Modell , abgeleitet von der Idee von hier
https://de.serlo.org/mathe/funktionen/kurvendiskussion/grenzwerte-asymptoten/berechnung-asymptote-gebrochenrationalen-funktionen
daß... Zählergrad = Nennergrad + 1 .......
der link zeigt mir auch , daß die Asymptote Schnittpunkte haben kann mit f(x). Hatte befürchtet ,daß eine A nur dann A ist ,wenn sie den Graph gar nicht schneidet .
PS : siehe meine zweite Antwort : ein anderes Modell, nicht so stark variierbar und eingängig wie deines . Schließlich kann man bei die gewünschte A einfach so als Summanden hinschreiben.
Ich war irritiert, daß der Zählergrad bei dir 1 kleiner war als der Nenner, macht man deine funktion gleichnamig wird das für Geraden als A geforderte aber deutlich
(0.5x^3 -x^2 + 1.5x - 3 )/(x-1)^2