Polstelle mit oder ohne Vorzeichenwechsel?
Woher weiß ich, ob eine Polstelle bei einer gebrochenrationalen Funktion einen VZW hat oder nicht? Die Funktionswerte streben z.B. gegen -unendlich und +unendlich, aber dass sagt ja glaube ich noch lange nichts aus.
3 Antworten
Du musst nicht die Grenzwerte von f ( x ) für x -> +/- unendlich betrachten, sondern den linksseitigen und den rechtsseitigen Grenzwert von f ( x ) für x -> x0, wobei x0 die betrachtete Polstelle von f ( x ) ist.
Genau dann, wenn diese beiden Grenzwerte verschiedene Vorzeichen haben (ihr Produkt also negativ ist), hat die gebrochen rationale Funktion f ( x ) an der Polstelle einen Vorzeichenwechsel.
Es gilt also:
Die gebrochen rationale Funktion ( x ) hat an der Polstelle x0 einen Vorzeichenwechsel genau dann wenn gilt:
lim [ x von links gegen x0 ] ( f ( x ) ) * lim [ x von rechts gegen x0 ] ( f ( x ) ) < 0
Beispiele:
f ( x ) = 1 / x
Polstelle x0 = 0
lim [ x von links gegen x0 ] ( 1 / x ) < 0
lim [ x von rechts gegen x0 ] > 0
Das Produkt beider Grenzwerte ist kleiner als Null, also liegt bei x0 ein VZW vor.
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Frage zum Nachdenken: Gibt es überhaupt eine gebrochenrationale Funktion f ( x ), die eine Polstelle hat, an der kein Vorzeichenwechsel von f ( x ) vorliegt?
weder ein unbedingtes Ja noch ein unbedingtes Nein, denn z. B. f(x) := 1 / |x| hat einen Vorzeichenwechsel um 0, dagegen hat f(x) := 1 / x hat keinen um 0.