Von der allgemeinen formel zur Scheitelpuntformel?

Hallo, kann mir jemand bitte erklären wie man den folgenden Term in die Scheitelpunktformel mithilfe der Quadratischen Ergänzung umformen kann??

f(x)=-0,5x^2 -x-1

Answer 1

[mihisu]

Halte dich einfach an die entsprechenden Schritte für die quadratische Ergänzung.

https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Ergänzung#Beispiele

Im konkreten Fall:

$f(x)=-0\text{,}5x^2-x-1$

[Ausklammern des Leitkoeffizienten -0,5]

$f(x)=-0\text{,}5\cdot\left(x^2+2x\right)-1$

[Quadratische Ergänzung: Betrachte die Hälfte des Koeffizienten 2 vor der Variablen x, also 1. In der Klammer addierst du nun das Quadrat dieser Hälfte. Damit sich der Wert nicht ändert, musst du zum Ausgleich das Quadrat wieder subtrahieren.]

$f(x)=-0\text{,}5\cdot\left(x^2+2x+1^2-1^2\right)-1$

[Bildung des Quadrats: Wende eine binomische Formel (hier: erste binomische Formel) an, um aus dem vorderen Teil in der Klammer ein Quadrat zu bilden. Im konkreten Fall ist x² + 2x + 1² = (x + 1)².]

[Gleichzeitig kann man hinten bei -1² das Quadrat ausrechnen, also -1² = -1.]

$f(x)=-0\text{,}5\cdot \left(\left(x+1\right)^2-1\right)-1$

[Ausmultiplizieren: Multipliziere die (äußere) Klammer aus.]

$f(x)=-0\text{,}5\cdot \left(x+1\right)^2+0\text{,}5-1$

[Nun kann man hinten noch 0,5 - 1 zu -0,5 zusammenfassen.]

$f(x)=-0\text{,}5\cdot \left(x+1\right)^2-0\text{,}5$

Damit hat man die Scheitelpunktform erreicht.

Bzw. wenn man es tatsächlich genau in der Form...

$f(x)=a\cdot \left(x-x_S\right)^2+y_S$

... haben möchte, kann man x + 1 noch als x - (-1) umschreiben und - 0,5 als + (-0,5) umschreiben.

$f(x)=\underbrace{-0\text{,}5}_{a}\cdot \left(x-\underbrace{\left(-1\right)}_{x_S}\right)^2+\underbrace{\left(-0\text{,}5\right)}_{y_S}$